Trapézio | Definição e Propriedades - Meta-Universo Matemático

O trapézio é um quadrilátero muito presente em exercícios de geometria e em situações do cotidiano. Para resolver problemas envolvendo essa figura, é importante reconhecer suas bases, identificar a altura e conhecer as propriedades de seus diferentes tipos.

Neste artigo, vamos estudar a definição de trapézio, suas classificações, a base média e a fórmula para calcular sua área.

1. O que é um trapézio?

Um trapézio é um quadrilátero que possui exatamente um par de lados opostos paralelos.

Os lados paralelos são chamados de bases. Em geral, a base de maior comprimento recebe o nome de base maior, enquanto a outra é chamada de base menor. A altura do trapézio é a distância perpendicular entre as duas bases.

Considere um trapézio $ABCD$, no qual $AB$ e $CD$ são paralelos:

$AB$: base maior;
$CD$: base menor;
$h$: altura do trapézio;

Propriedade dos ângulos

Como as bases são paralelas, cada lado oblíquo funciona como uma transversal. Portanto, os ângulos internos consecutivos em cada lateral são suplementares:

\[
\widehat{A}+\widehat{D}=180^\circ
\qquad\text{e}\qquad
\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ.
\]

Isso significa que a soma dos ângulos internos adjacentes a cada lado não paralelo é igual a $180^\circ$.

2. Tipos de trapézio

Os trapézios podem ser classificados de acordo com as características de seus lados e ângulos.

2.1. Trapézio retângulo

O trapézio retângulo possui dois ângulos internos retos, isto é, de $90^\circ$. Consequentemente, um de seus lados não paralelos é perpendicular às bases.

Esse lado perpendicular também tem a mesma medida da altura do trapézio. Por isso, nesse tipo de figura, a altura pode ser identificada diretamente em um dos lados.

2.2. Trapézio isósceles

O trapézio isósceles possui os lados não paralelos de mesma medida.

Essa característica implica algumas propriedades importantes:

os ângulos adjacentes à base maior são congruentes entre si;
os ângulos adjacentes à base menor também são congruentes entre si;
as diagonais possuem a mesma medida.

Essas propriedades ajudam a identificar um trapézio isósceles e a resolver problemas que envolvem ângulos, diagonais e comprimentos.

2.3. Trapézio escaleno

O trapézio escaleno possui lados não paralelos com medidas diferentes.

Em geral, seus ângulos adjacentes a uma mesma base têm medidas diferentes, e suas diagonais também apresentam comprimentos diferentes. Essas características o distinguem do trapézio isósceles.

3. Base média do trapézio

A base média do trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. Esse segmento é paralelo às duas bases.

Se $B$ representa a medida da base maior e $b$ a medida da base menor, então o comprimento $m$ da base média é dado pela média aritmética dos comprimentos das bases:

\[
\boxed{m=\frac{B+b}{2}}.
\]

Para ver isso, considere duas cópias do trapézio dado, gire uma delas em $180^{\circ}$ e encaixe-as para obter o paralelogramo abaixo.

Note que $$2m=B+b,$$ o que implica que $$m=\frac{B+b}{2}.$$

Exemplo

Considere um trapézio cuja base maior mede $14\text{ cm}$ e cuja base menor mede $8\text{ cm}$. Para calcular a base média, substituímos os valores na fórmula:

\[
m=\frac{14+8}{2}=\frac{22}{2}=11\text{ cm}.
\]

Logo, a base média mede $11\text{ cm}$.

Observe que a medida da base média fica entre as medidas das duas bases: ela é maior que a base menor e menor que a base maior.

4. Área do trapézio

A área de um trapézio pode ser calculada multiplicando a altura pela média aritmética das bases. Assim, se $B$ é a base maior, $b$ é a base menor e $h$ é a altura, temos:

\[
\boxed{A=\frac{(B+b)h}{2}}\tag{1}.
\]

Como a base média é $m=\frac{B+b}{2}$, também podemos escrever a fórmula de uma maneira equivalente:

\[
\boxed{A=m\cdot h}.
\]

Para demonstrar a fórmula $(1)$, começamos como na demonstração da medida da base média: tomamos dois trapézios congruentes, rotacionamos um deles em $180^{\circ}$ e obtemos o paralelogramo acima.

Observe que a área desse paralelogramo é duas vezes a área do trapézio e as suas medidas de suas alturas são iguais a $h$.

A base do paralelogramo mede $B+b$, logo sua área é $$S_{{\rm paralelogramo}}=(B+b)h.$$

Portanto, a área do trapézio é $$S_{{\rm trapézio}}=\frac{(B+b)h}{2}.$$

Exemplo

Um terreno tem formato de trapézio, com base maior de $20\text{ m}$, base menor de $12\text{ m}$ e altura de $6\text{ m}$. Qual é a área desse terreno?

Aplicando a fórmula:

\[
S=\frac{(20+12)\cdot 6}{2}
=\frac{32\cdot 6}{2}
=96\text{ m}^2.
\]

Portanto, a área do terreno é $96\text{ m}^2$.

5. Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos de todos os seus lados. Para um trapézio, basta somar as medidas das duas bases e dos dois lados não paralelos.

Se os lados têm medidas $B$, $b$, $l_1$ e $l_2$, então:

\[
\boxed{P=B+b+l_1+l_2}.
\]

Por exemplo, se os lados de um trapézio medem $10\text{ cm}$, $6\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ e $5\text{ cm}$, seu perímetro é:

\[
P=10+6+4+5=25\text{ cm}.
\]

É importante não confundir perímetro com área: o perímetro é medido em unidades de comprimento, como centímetros ou metros, enquanto a área é expressa em unidades quadradas, como $\text{cm}^2$ ou $\text{m}^2$.

6. Resumo das fórmulas

Grandeza	Fórmula
Base média	$\displaystyle m=\frac{B+b}{2}$
Área	$\displaystyle A=\frac{(B+b)h}{2}$
Área usando a base média	$\displaystyle A=m\cdot h$
Perímetro	$\displaystyle P=B+b+l_1+l_2$

7. Exercícios resolvidos

Questão 1. No trapézio $ABCD$ de bases $AB$ e $CD$, os segmentos $DP$ e $CP$ são bissetrizes dos ângulos adjacentes à base maior $CD$. Os ângulos nos vértices $A$ e $B$ medem, respectivamente, $2x + 10^\circ$ e $3x-15^\circ$. Se o ângulo $D\widehat{P}C$ mede $x + 65^\circ$, determine a medida do ângulo interno do vértice $D$.

Solução.

Vamos denotar as medidas dos ângulos adjacentes a base maior por $\widehat{C}$ e $\widehat{D}$.

Pelo que vimos acima, $$2x+10^{\circ}+\widehat{D}=180^{\circ}\quad \text{e}\quad 3x-15^{\circ}+\widehat{C}=180^{\circ}.$$

Somando essas duas equações, obtemos $$5x-5^{\circ}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}\tag {2}.$$

Por outro lado, somando as medidas dos ângulos internos do triângulo $DPC$, obtemos $$x+65^{\circ}+\frac{\widehat{C}}{2}+\frac{\widehat{D}}{2}=180^{\circ},$$ que equivale a $$2x+130^{\circ}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}\tag {3}.$$

Por $(2)$ e $(3)$, temos $$5x-5^{\circ}+\widehat{C}+\widehat{D}=2x+130^{\circ}+\widehat{C}+\widehat{D},$$ o que implica que $$5x-5^{\circ}=2x+130^{\circ},$$ donde segue que $$3x=135^{\circ}\Longrightarrow x=45^{\circ}.$$

Substituindo esse valor em $2x+10^{\circ}+\widehat{D}=180^{\circ}$, obtemos $$\widehat{D}=80^{\circ}.$$

Questão 2. (OBMEP 2018 – 1ª fase – Nível 2)

No trapézio $ABCD$ da figura, os lados $AB$ e $CD$ são paralelos e o comprimento de $CD$ é o dobro do comprimento de $AB$. O ponto $P$ está sobre o lado $CD$ e determina um triângulo $ABP$ com área igual a $17$. Qual é a área do trapézio $ABCD$?

$\begin{multicols}{5} \begin{enumerate} \item[A)] 32 \item[B)] 34 \item[C)] 45 \item[D)] 51 \item[E)] 68 \end{enumerate} \end{multicols}$