A regra de três composta costuma ser apresentada como uma extensão da regra de três simples. Em vez de relacionar apenas duas grandezas, temos três ou mais grandezas que podem influenciar o valor que queremos determinar.
Por exemplo:
4 trabalhadores, trabalhando 6 horas por dia durante 5 dias, produzem 600 peças. Quantas peças serão produzidas por 6 trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia durante 10 dias?
Uma maneira tradicional de resolver esse tipo de problema é montar uma tabela, identificar quais grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais e, em seguida, multiplicar as razões correspondentes.
Mas existe uma maneira interessante de enxergar esse procedimento:
a regra de três composta pode ser interpretada como uma sucessão de aplicações de regras de três simples.
Essa interpretação ajuda a entender não apenas como resolver o problema, mas também por que o procedimento funciona.
Relembre a regra de três simples
Na regra de três simples, temos duas grandezas relacionadas proporcionalmente.
Por exemplo, se 4 trabalhadores produzem 600 peças nas mesmas condições, podemos perguntar quantas peças serão produzidas por 6 trabalhadores.
Aumentando a quantidade de trabalhadores, a quantidade de peças produzidas aumentará na mesma proporção. Desse modo, essas grandezas são diretamente proporcionais.
$$
\frac{4}{6}=\frac{600}{x}.
$$
Logo, $$4x=6\cdot600$$ e, portanto, $$x=900.$$
Assim, aumentar o número de trabalhadores de 4 para 6 faz a produção passar de 600 para 900 peças.
A ideia fundamental é que estamos alterando uma grandeza enquanto mantemos as demais condições constantes.
Essa observação será importante para compreender a regra de três composta.
O que muda na regra de três composta?
Considere novamente o problema:
4 trabalhadores, trabalhando 6 horas por dia durante 5 dias, produzem 600 peças. Quantas peças serão produzidas por 6 trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia durante 10 dias?
Agora temos quatro grandezas:
- número de trabalhadores;
- número de horas trabalhadas por dia;
- número de dias;
- quantidade de peças produzidas.
A dificuldade aparece porque queremos alterar três grandezas ao mesmo tempo:
$$
4\longrightarrow6,\quad
6\longrightarrow8,\quad
5\longrightarrow10.
$$
A quantidade produzida também será alterada:
$$
600\longrightarrow x.
$$
Uma maneira de organizar o raciocínio é não fazer todas essas alterações de uma vez.
Podemos fazer uma alteração por vez.
É justamente aqui que entendemos a regra de três composta como uma sucessão de regras de três simples.
Primeira aplicação da regra de três simples: alterando o número de trabalhadores
Inicialmente temos:
- 4 trabalhadores;
- 6 horas por dia;
- 5 dias;
- 600 peças.
Vamos primeiro aumentar apenas o número de trabalhadores de 4 para 6.
Mantemos as demais condições constantes:
- 6 horas por dia;
- 5 dias de trabalho.
Como vimos acima, a quantidade de peças produzidas é diretamente proporcional à quantidade de trabalhadores.
Com isso, $$
\frac{4}{6}=\frac{600}{x_1}.\tag{1}
$$
Já sabemos que $x_1=900$, mas vamos continuar usando $x_1$ para podermos enxergar por que o método prático funciona.
Portanto, depois dessa primeira alteração, podemos imaginar a situação:
| Trabalhadores | Horas/dia | Dias | Produção |
|---|---|---|---|
| 4 | 6 | 5 | 600 |
| 6 | 6 | 5 | $x_1$ |
A primeira mudança aumentou a produção de 600 para $x_1$ peças.
Segunda aplicação: alterando o número de horas
Agora partimos da situação intermediária:
- 6 trabalhadores;
- 6 horas por dia;
- 5 dias;
- $x_1$ peças.
Vamos alterar apenas o número de horas trabalhadas por dia:$$
6\longrightarrow8.
$$
Mantemos constantes o número de trabalhadores e o número de dias.
Como a produção é diretamente proporcional ao número de horas trabalhadas, temos:
$$
\frac{6}{8}=\frac{x_1}{x_2}\tag{2}.
$$
Agora temos:
| Trabalhadores | Horas/dia | Dias | Produção |
|---|---|---|---|
| 4 | 6 | 5 | 600 |
| 6 | 6 | 5 | $x_1$ |
| 6 | 8 | 5 | $x_2$ |
Mais uma vez, aplicamos uma regra de três simples.
Terceira aplicação: alterando o número de dias
Finalmente, partimos da situação:
- 6 trabalhadores;
- 8 horas por dia;
- 5 dias;
- $x_2$ peças.
Agora alteramos somente o número de dias:
$$
5\longrightarrow10.
$$
Mantendo as outras grandezas constantes e usando o fato de que a produção é diretamente proporcional ao número de dias trabalhados, temos
$$\frac{5}{10}=\frac{x_2}{x}\tag{3}.
$$
Assim, chegamos à situação final:
| Trabalhadores | Horas/dia | Dias | Produção |
|---|---|---|---|
| 4 | 6 | 5 | 600 |
| 6 | 8 | 10 | $x$ |
De $(2)$, segue que $$x_1=\frac{6}{8}x_2.$$
Substituindo em $(1)$, obtemos
$$\frac{600}{\frac{6}{8}\cdot x_2}=\frac{4}{6},$$ o que implica $$\frac{600}{x_2}=\frac{4}{6}\cdot\frac{6}{8}\tag{4}.$$
Agora, $(3)$ implica $$x_2=\frac{5}{10}x.$$ Substituindo em $(4)$, temos $$\frac{600}{\frac{5}{10}\cdot x}=\frac{4}{6}\cdot\frac{6}{8}\Longrightarrow \frac{600}{x}=\frac{4}{6}\cdot\frac{6}{8}\cdot \frac{5}{10}.$$
Essa proporção é a mesma que a obtida no procedimento usual.
Resolvendo para $x$, obtemos $$\frac{600}{x}=\frac{1}{4}\Longrightarrow x=2400.$$
E quando tivermos grandezas inversamente proporcionais?
O raciocínio para o caso em que há grandezas inversamente proporcionais é similar.
Para ver isso, veja o exemplo a seguir:
Uma equipe de 6 técnicos consegue digitalizar 600 páginas trabalhando 5 horas por dia durante 10 dias.
Mantendo o mesmo ritmo por técnico, quantos dias serão necessários para que 10 técnicos, trabalhando 6 horas por dia, digitalizem 1.200 páginas?
Solução. Temos inicialmente:
- 6 técnicos;
- 5 horas de trabalho por dia;
- 10 dias;
- 600 páginas digitalizadas.
Queremos determinar quantos dias serão necessários para:
- 10 técnicos;
- 6 horas de trabalho por dia;
- 1200 páginas.
A ideia é alterar uma grandeza de cada vez, mantendo as demais constantes.
1. Alterando a quantidade de páginas
Primeiro, vamos manter o número de técnicos e a quantidade de horas trabalhadas por dia constantes.
Com 6 técnicos trabalhando 5 horas por dia, são necessárias 10 dias para digitalizar 600 páginas.
Quantos dias serão necessários para digitalizar 1200 páginas nas mesmas condições?
As grandezas número de páginas e número de dias são diretamente proporcionais: mantendo o ritmo de trabalho, quanto maior o número de páginas, maior será o número de dias.
Assim, $$
\frac{600}{1200}=\frac{10}{x_1}\Longrightarrow x_1=20\tag{5}.
$$
Assim, após essa alteração, temos
| Páginas | Técnicos | Horas/dia | Dias |
|---|---|---|---|
| 600 | 6 | 5 | 10 |
| 1200 | 6 | 5 | 20 |
2. Alterando a quantidade de técnicos
Agora vamos manter constantes a quantidade de páginas, 1200, e a jornada de 5 horas por dia.
Temos 6 técnicos realizando o trabalho em 20 dias. Queremos saber quanto tempo será necessário com 10 técnicos.
Nesse caso, as grandezas número de técnicos e número de dias são inversamente proporcionais.
De fato, se aumentamos a quantidade de técnicos, o trabalho pode ser realizado em menos dias, desde que o ritmo de trabalho por técnico permaneça o mesmo.
Temos, então,
$$
6\cdot20=10\cdot x_2\tag{6}.
$$
Logo, $x_2=12$ e a tabela fica assim:
| Páginas | Técnicos | Horas/dia | Dias |
|---|---|---|---|
| 600 | 6 | 5 | 10 |
| 1200 | 6 | 5 | 20 |
| 1200 | 10 | 5 | 12 |
3. Alterando o número de horas trabalhadas por dia
Por fim, vamos manter constantes os 10 técnicos e as 1200 páginas.
Até aqui, tínhamos 10 técnicos trabalhando 5 horas por dia durante 12 dias. Queremos saber quanto tempo será necessário se a jornada diária for aumentada para 6 horas.
Novamente temos uma relação de proporcionalidade inversa.
Se cada técnico trabalha menos horas por dia, serão necessários mais dias para realizar a mesma quantidade de trabalho.
Portanto,
$$
5\cdot12=6\cdot x,
$$
o que implica $x=10$.
Conclusão
A regra de três composta não deve ser encarada como uma técnica distinta da regra de três simples, mas sim como uma aplicação sequencial desta.
Nesse processo, cada etapa modifica apenas uma das grandezas enquanto mantém as demais constantes.
Essa perspectiva, além de esclarecer o procedimento tradicional, reduz a necessidade de memorizar fórmulas, revelando a regra de três composta pelo que ela de fato é: uma combinação de relações de proporcionalidade simples.
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