Problema 02

Mostre que se $2^n-1$ é um primo de Mersenne, então $$N=2^{n-1}(2^n-1)$$ é um número perfeito. Além disso, mostre que todo número perfeito par possui exatamente essa forma.

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Antes de apresentar a solução desse problema, vamos relembrar os conceitos envolvidos nele.

O que é um número perfeito?

Os números perfeitos aparecem desde a matemática da Grécia Antiga e estão entre os objetos mais fascinantes da Teoria dos Números.

Um número natural é chamado de perfeito quando ele é igual à soma de seus divisores positivos próprios.

Por exemplo, o número $6$ possui divisores próprios

$$
1,\;2,\;3.
$$

Como

$$
1+2+3=6,
$$

o número $6$ é perfeito.

Outro exemplo é o número $28$:

$$
1+2+4+7+14=28.
$$

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O que é um primo de Mersenne?

Um primo de Mersenne é um número primo da forma

$$
2^n-1.
$$

Por exemplo:

• $2^2-1=3$;
• $2^3-1=7$;
• $2^5-1=31$.

Nem todo número da forma $2^n-1$ é primo. Por exemplo,

$$
2^4-1=15,
$$

que não é primo.

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Solução

Parte 1 — Mostrando que $N$ é perfeito

Suponha que

$$
2^n-1
$$

seja um primo de Mersenne e defina

$$
N=2^{n-1}(2^n-1).
$$

Queremos provar que $N$ é perfeito. Para isso, usaremos a função soma dos divisores, denotada por $\sigma(N)$.

Sabemos que a soma dos divisores de $2^{n-1}$ é

$$
1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}.
$$

Como isso é a soma dos termos de uma progressão geométrica,

$$
\sigma(2^{n-1})=2^n-1.
$$

Além disso, como $2^n-1$ é primo,

$$
\sigma(2^n-1)=1+(2^n-1)=2^n.
$$

Como os números $2^{n-1}$ e $2^n-1$ são coprimos e a função $\sigma$ é multiplicativa, segue que

$$
\sigma(N)=\sigma(2^{n-1})\sigma(2^n-1).
$$

Logo,

$$
\sigma(N)=(2^n-1)\cdot 2^n=2^n(2^n-1)=2\cdot 2^{n-1}(2^n-1)=2N.
$$

Assim, $\sigma(N)=2N.$

Mas a soma dos divisores próprios de $N$ é $\sigma(N)-N.$

Logo,

$$
\sigma(N)-N=2N-N=N.
$$

Portanto, $N$ é um número perfeito.

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Parte 2 — Todo número perfeito par tem essa forma

Agora vamos provar a recíproca.

Suponha que $N$ seja um número perfeito par. Como $N$ é par, podemos escrevê-lo como

$$
N=2^{n-1}m,
$$

onde $n\geq 2$ e $m$ é ímpar. Além disso, $$\text{mdc}(2^{n-1},m)=1.$$

Como $N$ é perfeito, $\sigma(N)=2N.$ Daí e da multiplicatividade da função soma dos divisores, temos

$$
\sigma(2^{n-1})\sigma(m)=2^n m.
$$

Sabemos que $
\sigma(2^{n-1})=2^n-1.
$

Logo, $$
(2^n-1)\sigma(m)=2^n m.
$$
Já que $\text{mdc}(2^n,2^n-1)=1$, $2^n-1$ deve dividir $m$. Com isso, existe $k\in\mathbb{Z}$, tal que

$$
m=(2^n-1)k.
$$

Substituindo na equação anterior, obtemos

$$
(2^n-1)\sigma(m)=2^n(2^n-1)k.
$$

Cancelando o fator $2^n-1$, chegamos a

$$
\sigma(m)=2^n k.
$$

Agora, $m$ e $k$ são divisores distintos de $m$, com $$m+k=(2^n-1)k+k=2^nk=\sigma(m),$$ que é a soma de todos os divisores de $m$.

Desse modo $m$ e $k$ devem ser os únicos divisores de $m$ e, por isso, $m$ é primo e $k=1$. Logo, $m=2^n-1$ e, portanto,

$$
N=2^{n-1}(2^n-1).
$$

Assim, todo número perfeito par possui a forma

$$
N=2^{n-1}(2^n-1),
$$

onde $2^n-1$ é um primo de Mersenne.

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Conclusão

Demonstramos dois resultados fundamentais da Teoria dos Números:

• se $2^n-1$ é primo, então

$$
2^{n-1}(2^n-1)
$$

é um número perfeito;

• todo número perfeito par surge exatamente dessa maneira.

Essa caracterização foi descoberta por Euclides e completada posteriormente por Euler. Por isso, o resultado é conhecido como o Teorema de Euclides-Euler.

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Exemplos

Exemplo 1

Tomando

$$
2^2-1=3,
$$

obtemos

$$
N=2^{1}\cdot 3=6.
$$

O número $6$ é perfeito.

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Exemplo 2

Tomando

$$
2^3-1=7,
$$

temos

$$
N=2^2\cdot 7=28.
$$

O número $28$ também é perfeito.

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Exemplo 3

Como

$$
2^5-1=31
$$

é primo, segue que

$$
N=2^4\cdot 31=496
$$

é um número perfeito.