Em Álgebra Linear, um dos exercícios mais frequentes consiste em verificar se um determinado conjunto é ou não um subespaço vetorial.
Embora o procedimento seja sempre baseado na mesma definição, muitos estudantes têm dificuldade em identificar quais propriedades precisam ser verificadas e como justificá-las corretamente.
Quando o espaço vetorial é formado por funções, como o espaço das funções contínuas em um intervalo, esses exercícios costumam parecer mais abstratos do que aqueles envolvendo vetores ou matrizes. Ainda assim, os mesmos conceitos fundamentais de Álgebra Linear continuam sendo utilizados.
Neste artigo, resolveremos um exercício clássico envolvendo um subconjunto de $C[a,b]$, mostrando passo a passo como verificar que ele é um subespaço vetorial.
Revisão rápida da teoria
Seja $\mathbb{V}$ um espaço vetorial e $\mathbb{W}\subseteq \mathbb{V}$.
Para mostrar que $\mathbb{W}$ é um subespaço vetorial, basta verificar três propriedades fundamentais:
- O vetor nulo pertence a $\mathbb{W}$;
- $\mathbb{W}$ é fechado por soma;
- $\mathbb{W}$ é fechado por multiplicação por escalar.
No problema de hoje, será essencial utilizar também a linearidade da integral, isto é,
$$\int_a^b(f(x)+g(x))\,dx=\int_a^bf(x)\,dx+\int_a^bg(x)\,dx,$$
e $$\int_a^b\lambda f(x)\,dx=\lambda\int_a^bf(x)\,dx.$$
Leitura recomendada: Se você ainda não domina o conceito de subespaço vetorial, vale a pena estudar primeiro esse assunto antes de resolver exercícios desse tipo.
Enunciado
Seja $\mathbb{V}=C[a,b]$ o espaço vetorial das funções contínuas definidas no intervalo $[a,b]$.
Considere o subconjunto $$\mathbb{W}=\left\{f\in C[a,b]; \int_a^bf(x)\,dx=0\right\}.$$
Mostre que $\mathbb{W}$ é um subespaço de $\mathbb{V}$.
Resolução passo a passo
Passo 1 — O que precisamos mostrar?
Para provar que $\mathbb{W}$ é um subespaço vetorial, verificaremos as três propriedades da definição:
- a função nula pertence ao conjunto;
- o conjunto é fechado por soma;
- o conjunto é fechado por multiplicação por escalar.
Cada uma dessas verificações garante que o conjunto herda a estrutura vetorial do espaço $C[a,b]$.
Passo 2 — Verificar se a função nula pertence ao conjunto
A função nula é dada por
$$
f(x)=0,
\qquad
x\in[a,b].
$$
Calculando sua integral,
$$
\int_a^b0\,dx=0.
$$
Logo, $f\in\mathbb{W}.$
Por que isso é importante?
Todo subespaço deve conter o vetor nulo do espaço ambiente. Se essa propriedade falhar, o conjunto automaticamente deixa de ser um subespaço.
Passo 3 — Verificar o fechamento por soma
Agora sejam $f,g\in\mathbb{W}.$
Pela definição do conjunto,
$$
\int_a^bf(x)\,dx=0
\quad\text{e}\quad
\int_a^bg(x)\,dx=0.
$$
Queremos verificar se $f+g$ também pertence a $\mathbb{W}$.
Da linearidade da integral, temos
$$\int_a^b(f(x)+g(x))\,dx=\int_a^bf(x)\,dx+\int_a^bg(x)\,dx.$$
Substituindo os valores conhecidos,
$$
0+0=0.
$$
Assim, $\int_a^b(f+g)\,dx=0,$ o que implica $f+g\in\mathbb{W}.$
Resultado: o conjunto é fechado por soma.
Passo 4 — Verificar o fechamento por multiplicação por escalar
Sejam $f\in\mathbb{W}$ e $\lambda\in\mathbb{R}.$
Como
$$
\int_a^bf(x)\,dx=0,
$$
pela linearidade da integral, $$\int_a^b(\lambda f(x))\,dx=\lambda
\int_a^bf(x)\,dx.$$
Logo,$$\int_a^b(\lambda f(x))\,dx=\lambda\cdot0=0.$$
Portanto, $\lambda f\in\mathbb{W}.$
Resultado: o conjunto também é fechado por multiplicação por escalar.
Conclusão da demonstração
Mostramos que:
- a função nula pertence a $\mathbb{W}$;
- $\mathbb{W}$ é fechado por soma;
- $\mathbb{W}$ é fechado por multiplicação por escalar.
Portanto,
$$
\boxed{\mathbb{W}\text{ é um subespaço vetorial de }C[a,b].}
$$
Método alternativo
Uma maneira mais elegante de resolver esse exercício é observar que a aplicação $
T:C[a,b]\longrightarrow\mathbb{R},$ definida por $$
T(f)=\int_a^bf(x)\,dx,
$$ é uma transformação linear.
O conjunto
$$\mathbb{W}=\left\{
f\in C[a,b];
\int_a^bf(x)\,dx=0
\right\}
$$
é exatamente o núcleo dessa transformação:
$$
\mathbb{W}=\ker(T).
$$
Como o núcleo de toda transformação linear é um subespaço vetorial, a conclusão segue imediatamente.
Essa abordagem é mais curta e elegante, mas exige que o estudante já conheça os conceitos de transformação linear e núcleo.
Conclusão
Neste exercício, vimos como aplicar diretamente a definição de subespaço vetorial em um conjunto de funções contínuas definido por uma condição envolvendo integrais.
A ideia central foi utilizar a linearidade da integral para verificar o fechamento por soma e por multiplicação por escalar.
Se você está estudando Álgebra Linear, vale a pena resolver outros exercícios semelhantes envolvendo matrizes, polinômios e espaços de funções. Quanto mais exemplos você praticar, mais natural se tornará identificar rapidamente quando um conjunto é ou não um subespaço vetorial.
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