Problema 02
Seja $\mathbb{V}=C[a,b]$ o espaço vetorial das funções contínuas definidas no intervalo $[a,b]$. Considere o seguinte subconjunto de $\mathbb{V}$: $$\mathbb{W}=\left\{f\in C[a,b]; \int_a^bf(x)\;dx=0\right\}.$$ Mostre que $\mathbb{W}$ é um subespaço de $\mathbb{V}$.
O que precisamos mostrar?
Para mostrar que um subconjunto $\mathbb{W}$ de um espaço vetorial é um subespaço, precisamos verificar três propriedades:
- O vetor nulo pertence a $\mathbb{W}$;
- O conjunto é fechado por soma;
- O conjunto é fechado por multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
1. A função nula pertence ao conjunto
Considere a função nula
$$
f(x)=0.
$$
Sua integral no intervalo $[a,b]$ é
$$
\int_a^b 0\;dx=0.
$$
Portanto, a função nula pertence ao conjunto $\mathbb{W}$.
2. Fechamento por soma
Agora, sejam $f,g\in \mathbb{W}$. Isso significa que
$$
\int_a^b f(x)\;dx=0
\quad\text{e}\quad
\int_a^b g(x)\;dx=0.
$$
Precisamos verificar se a soma $f+g$ também pertence a $\mathbb{W}$.
Usando a linearidade da integral, temos
$$\int_a^b f(x)\;dx
+
\int_a^b g(x)\;dx.
$$
Substituindo os valores conhecidos,
$$0+0=0.
$$
Logo,
$$
f+g\in \mathbb{W}.
$$
Assim, o conjunto é fechado por soma.
3. Fechamento por multiplicação por escalar
Seja $f\in \mathbb{W}$ e seja $\lambda\in\mathbb{R}$.
Como
$$
\int_a^b f(x)\;dx=0,
$$
pela linearidade da integral obtemos
$$\lambda\int_a^b f(x)\;dx.
$$
Portanto,
$$\lambda\cdot 0=0.
$$
Isso mostra que
$$
\lambda f\in \mathbb{W}.
$$
Assim, o conjunto é fechado por multiplicação por escalar.
Conclusão
Como o conjunto
$$
\mathbb{W}=\left\{f\in C[a,b];\int_a^b f(x)\;dx=0\right\}
$$
contém a função nula e é fechado por soma e multiplicação por escalar, concluímos que $\mathbb{W}$ é um subespaço vetorial de $C[a,b]$.
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