Você já olhou para um triângulo e se perguntou se existe um ponto exatamente no “meio” dele?
Ou já ouviu falar em baricentro e teve a impressão de que era mais um daqueles nomes complicados da geometria?
Se a resposta foi sim, fique tranquilo.
Na verdade, o conceito de baricentro é muito mais simples do que parece.
E depois que você entender o que ele representa, dificilmente vai esquecê-lo.
Neste artigo, você vai aprender o que é o baricentro, como encontrá-lo e por que ele é tão importante na geometria.
O que é o baricentro?
O baricentro é o ponto onde as três medianas de um triângulo se encontram.
Mas talvez você esteja se perguntando:
O que é uma mediana?
Uma mediana é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Como um triângulo possui três vértices, ele também possui três medianas.
E acontece algo muito interessante.
Independentemente do formato do triângulo, as três medianas sempre se cruzam em um único ponto.
Esse ponto recebe o nome de baricentro.
Como encontrar uma mediana?
Antes de localizar o baricentro, é preciso saber desenhar as medianas.
O processo é simples.
Primeiro, escolha um dos lados do triângulo.
Depois, encontre o ponto médio desse lado.
Em seguida, ligue esse ponto ao vértice oposto.
Você acabou de construir uma mediana.
Repita o mesmo procedimento para os outros dois lados.
O ponto onde as três medianas se encontram é o baricentro.
O fato das três medianas concorrerem em único ponto pode ser provado.
Para ver a demonstração, acesse o artigo sobre cevianas aqui no blog.
Propriedades do baricentro
Agora que sabemos que o baricentro é o ponto de encontro das medianas de um triângulo, vamos conhecer as propriedades que o tornam um dos pontos notáveis mais importantes da Geometria.
O baricentro está sempre no interior do triângulo
Ao contrário de alguns outros pontos notáveis, como o ortocentro, que pode ficar fora do triângulo, o baricentro sempre pertence à sua região interna.
Isso acontece porque cada mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Como o baricentro pertence simultaneamente às três medianas, ele sempre permanece no interior do triângulo, independentemente do formato da figura.
O baricentro divide cada mediana na razão $2:1$
Esta é, sem dúvida, a propriedade mais conhecida do baricentro.
Seja $M$ o ponto médio do lado oposto ao vértice $A$ e seja $G$ o baricentro do triângulo. Então,
$$
\overline{AG}=2\overline{GM}.
$$
O baricentro é o centro de gravidade do triângulo
Imagine recortar um triângulo em uma placa de papelão de espessura e densidade uniformes.
Se você tentar equilibrar essa placa apoiando-a sobre a ponta de um lápis, perceberá que existe um único ponto em que ela permanece em equilíbrio. Esse ponto é justamente o baricentro.
Por esse motivo, o baricentro também é conhecido como centro de gravidade (ou centroide) de um triângulo homogêneo. Essa interpretação estabelece uma interessante conexão entre a Geometria e a Física e ajuda a compreender por que esse ponto é tão importante.
Como encontrar o baricentro usando coordenadas?
Antes de prosseguirmos, vale apresentar uma ferramenta bastante útil da Geometria Analítica: a parametrização de um segmento de reta. Ela permitirá obter a fórmula das coordenadas do baricentro de maneira simples e natural.
Sejam $P=(x_P,y_P)$ e $Q=(x_Q,y_Q)$ dois pontos distintos. Todo ponto $X$ do segmento $PQ$ pode ser escrito como $$X=\left((1-t)x_P+tx_Q,(1-t)y_P+ty_Q\right),\quad 0\le t\le 1.$$
Quando $t=0$, temos $X=P$; quando $t=1$, temos $X=Q$; e, para $0<t<1$, o ponto $X$ está no interior do segmento.
Agora, considere um triângulo $ABC$, onde $A=(x_1,y_1), B=(x_2,y_2)$ e $C=(x_3,y_3)$ em um sistema de coordenadas.
Sejam ainda $M$ o ponto médio do segmento $AB$ e $G$ o baricentro desse triângulo.
Como $M$ é o ponto médio do segmento $AB$, ele corresponde ao valor $t=\frac{1}{2}$ na parametrização desse segmento.
Assim, $$M=\left(\left(1-\frac{1}{2}\right)x_1+\frac{1}{2}x_2, \left(1-\frac{1}{2}\right)y_1+\frac{1}{2}y_2\right)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).$$
Agora, considere a mediana $MC$.
Como $\overline{GC}=2\overline{MG}$, temos $$\overline{MC}=\overline{MG}+\overline{GC}=3\overline{MG},$$ donde segue $$\overline{MG}=\frac{1}{3}\overline{MC}.$$
Logo, o baricentro $G$ corresponde ao valor $t=\frac{1}{3}$ na parametrização do segmento $MC$.
Portanto, $$G=\left(\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot \frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_3}{3},\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot \frac{y_1+y_2}{2}+\frac{y_3}{3} \right),$$ o que nos dá $$G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).$$
Exemplos
Vejamos alguns exemplos resolvidos.
Exemplo 1
(EEAR CFS 1/2022) Seja $ABC$ um triângulo tal que $\widehat{A} = 60^{\circ}$, conforme a figura. Determine $\overline{FD}$.
Solução.
Note que o triângulo isósceles $ACD$ é também equilátero, pois $\widehat{A}=60^{\circ}$ (o que implica $\widehat{C}=\widehat{D}=60^{\circ}$).
Com isso, temos $\overline{CD}=6$.
Além disso, o ponto $F$ é o baricentro do triângulo $ABC$ e, por isso, divide a mediana $CD$ na razão $2:1$. Logo, $\overline{CF}=2\overline{FD}$.
Dessa forma, $$6=\overline{CD}=\overline{CF}+\overline{FD}=3\overline{FD},$$ o que nos dá $$\overline{FD}=2.$$
Exemplo 2
Determine o baricentro do triângulo de vértices $A=(1,2), B=(4,5)$ e $C=(7,−1)$.
Solução.
Aplicando fórmula das coordenadas do baricentro, obtemos $$G=\left(\frac{1+4+7}{3},\frac{2+5-1}{3}\right)=(4,2).$$
Exemplo 3
(Adaptado de CFS 2007) Seja $G$ o baricentro do triângulo $ABC$. Os pontos $M$, $N$ e $P$ são os pontos médios dos lados $BC$, $AC$ e $AB$, respectivamente.
Sabendo que
$$
\overline{AG}=12\text{ cm},\qquad
\overline{GN}=4\text{ cm}
\quad\text{e}\quad
\overline{CP}=15\text{ cm},
$$
determine o valor de $x+y+z,$ onde $$x=\overline{GP},\qquad y=\overline{BG},\qquad z=\overline{GM}.$$
Solução.
Sabemos que o baricentro divide cada mediana na razão $2:1$.
Com isso, temos que $$\overline{CG}=2\overline{GP}=2x.$$ Daí, $$15=\overline{CP}=\overline{CG}+\overline{GP}=3x\Rightarrow x=5\;\text{cm}.$$
Pela mesma razão $$\overline{AG}=2\cdot \overline{GM}\quad\text{e}\quad \overline{BG}=2\cdot \overline{GN}.$$ Logo, $$y=\overline{BG}=2\cdot 4=8\;\text{cm}\quad\text{e}\quad z=\overline{GM}=\frac{12}{2}=6\;\text{cm}.$$
Portanto, $x+y+z=5+8+6=19\;\text{cm}$.
Conclusão
Vimos que o baricentro, além de ser o ponto de encontro das três medianas, divide cada mediana na razão $2:1$ e, quando o triângulo possui densidade uniforme, coincide com o seu centro de massa.
Também vimos que, em Geometria Analítica, suas coordenadas podem ser obtidas de forma simples por meio da média das coordenadas dos vértices, resultado que torna a resolução de muitos problemas rápida e eficiente.
O baricentro é apenas um dos quatro principais pontos notáveis do triângulo. Cada um deles surge de uma construção diferente e possui propriedades próprias. Nos próximos artigos, exploraremos o incentro, o circuncentro e o ortocentro e vamos entender como são obtidos e quais são as suas propriedades.
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