Por que $0,999\ldots$ é igual a 1?

Se você chegou até aqui, provavelmente já discutiu isso com alguém, um professor, um colega, ou até uma pessoa muito confiante nas redes sociais dizendo que “matemático nenhum vai me convencer disso”.

E é justo: à primeira vista, a afirmação

$$
0,999\ldots = 1
$$

parece simplesmente errada.

Afinal, $0,999\ldots$ tem uma fila infinita de noves depois da vírgula, e 1é… bem,1. Como dois números que parecem tão diferentes podem ser exatamente o mesmo valor?

Saberemos a resposta a seguir, por meio de duas demonstrações.

O que exatamente é 0,999…?

Antes de provar qualquer coisa, vale entender a notação.

O símbolo $0,999\ldots$ (às vezes escrito como $0,\overline{9}$) representa uma dízima periódica infinita: depois da vírgula o algarismo $9$ continua aparecendo indefinidamente.

Ou seja, $$0,999\ldots=0,9+0,09+0,009+0,0009+\cdots,$$ ou ainda, $$0,999\ldots=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1\;000}+\frac{9}{10\;000}+\cdots.$$

Trata-se de uma soma infinita, e não de um processo que “ainda não terminou”.

Demonstração 1: multiplicando por 10

Considere $$x=0,999\ldots.$$

Multiplicando ambos os lados por $10$, obtemos $$10x=9,999\ldots.$$

Note que $$9,999\ldots=9+0,999\ldots=9+x.$$ Assim, $$10x=9+x.$$

Subtraindo $x$ dos dois lados, $$9x=9.$$

Logo, $x=1$.

Como $x=0,999\ldots,$ segue que $$0,999\ldots=1.$$

Demonstração 2: como soma de uma série geométrica

Se você já estudou progressões geométricas, existe uma segunda forma de demonstrar o mesmo resultado.

Como vimos acima, podemos escrever $$0,999\ldots=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1\;000}+\frac{9}{10\;000}+\cdots$$

Essa é uma série geométrica de primeiro termo $a=\frac{9}{10}$ e razão $r=\frac{1}{10}$.

A fórmula da soma de uma série geométrica infinita (válida sempre que $|r|<1$) é $$S=\frac{a}{1-r}.$$

Substituindo os valores: $$S=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1.$$

Assim, obtemos novamente $$0,999\ldots=1.$$

Curiosidade

Todo número decimal finito admite uma segunda representação decimal terminada por uma sequência infinita de noves.

Por exemplo, $$0,5=0,4999\ldots,\qquad 2=1,999\ldots,\qquad 7,3=7,2999\ldots.$$

Portanto, a igualdade $0,999\ldots=1$ não é um caso isolado, mas uma propriedade geral da representação decimal dos números reais.