Por que $0,999\ldots$ é igual a 1?

À primeira vista, parece estranho afirmar que

$$
0,999\ldots = 1.
$$

Muita gente pensa: “mas sempre falta um pouquinho para chegar em 1”.

No entanto, na matemática, esses dois números representam exatamente o mesmo valor.

Vejamos como verificar esse fato.

Considere

$$
x = 0,999\ldots
$$

Multiplicando ambos os lados por 10, obtemos

$$
10x = 9,999\ldots
$$

Daí, segue que

$$
10x=9 + 0,999\ldots=9+x
$$

Com isso, temos

$$
9x = 9
$$

Logo,

$$
x = 1.
$$

Como

$$
x = 0,999\ldots,
$$

concluímos que

$$
0,999\ldots = 1.
$$