Teoria dos Números – 01- Se $n$ é ímpar, então 8 divide $n^2-1$

Problema 01

Mostre que se $n$ é um inteiro ímpar, então 8 divide $n^2-1$.

Solução

Como $n$ é ímpar, existe $k \in \mathbb{Z}$ tal que
$$n = 2k + 1.$$

Logo, $$n^2-1 = (2k+1)^2-1 = 4k(k+1).$$

Como $k$ e $k+1$ são inteiros consecutivos, um deles é par. Portanto, existe $m \in \mathbb{Z}$ tal que
$$k(k+1) = 2m.$$

Segue que $$n^2-1 = 4 \cdot 2m = 8m,$$

o que mostra que $8 \mid (n^2-1)$.