Um dos primeiros resultados interessantes da Teoria dos Grupos mostra que, embora os elementos $ab$ e $ba$ nem sempre sejam iguais, eles possuem exatamente a mesma ordem.
Esse fato aparece com frequência em disciplinas de Álgebra, listas de exercícios e provas de graduação e pós-graduação, pois ilustra uma importante relação entre elementos conjugados de um grupo.
Neste artigo, veremos o enunciado do resultado, sua demonstração detalhada e algumas observações que ajudam a compreender por que ele é verdadeiro.
Problema
Seja $G$ um grupo e sejam $a,b\in G$.
Mostre que os elementos $ab$ e $ba$ possuem a mesma ordem.
Recordando o conceito de ordem de um elemento
Antes da demonstração, vamos recordar uma definição importante.
A ordem de um elemento $g\in G$ é o menor inteiro positivo $n$ tal que
$$
g^n=e,
$$
onde $e$ representa o elemento neutro do grupo.
Caso não exista tal inteiro positivo, dizemos que $g$ possui ordem infinita.
Ideia da demonstração
A estratégia consiste em mostrar que
- a ordem de $ba$ divide a ordem de $ab$;
- a ordem de $ab$ divide a ordem de $ba$.
Como dois inteiros positivos que dividem um ao outro necessariamente são iguais, concluiremos que as ordens coincidem.
Demonstração
Sejam
- $n=o(ab)$;
- $m=o(ba)$.
Pela definição de ordem, $$(ab)^n=e\quad\text{e}\quad(ba)^m=e.$$
Agora observemos que
$$(ab)^n=a(ba)^{n-1}b.$$
Como o lado esquerdo é igual ao elemento neutro, obtemos
$$
e=a(ba)^{n-1}b.
$$
Multiplicando ambos os lados à direita por $a$, temos
$$
a(ba)^{n-1}ba=a.
$$
Como
$$
(ba)^{n-1}ba=(ba)^n,
$$
segue que
$$
a(ba)^n=a.
$$
Multiplicando agora ambos os lados à esquerda por $a^{-1}$, concluímos que
$$
(ba)^n=e.
$$
Como $m$ é a menor potência positiva de $ba$ que produz o elemento neutro, segue da propriedade da ordem de um elemento que
$$
m\mid n.
$$
Repetindo exatamente o mesmo argumento, mas trocando os papéis de $ab$ e $ba$, obtemos
$$
n\mid m.
$$
Logo,
$$
m=n.
$$
Portanto,
$$
\boxed{o(ab)=o(ba).}$$
Observação. Também é possível obter esse resultado observando que $$ba=a^{-1}(ab)a.$$ isto é, $ba$ é conjugado de $ab$. Como a conjugação preserva a ordem dos elementos, segue novamente que $\o(ab)=o(ba).$
Exemplo
Considere o grupo simétrico $S_3$.
Tomemos
$$
a=(12)
\qquad\text{e}\qquad
b=(23).
$$
Então, $$ab=(123) \quad \text{e}\quad ba=(132).$$
Embora sejam permutações diferentes,
- $ab$ possui ordem $3$;
- $ba$ também possui ordem $3$.
Conclusão
Embora $ab$ e $ba$ geralmente sejam elementos distintos em um grupo não abeliano, eles sempre possuem a mesma ordem. Esse resultado pode ser demonstrado diretamente a partir da definição de ordem ou entendido como uma consequência do fato de que esses elementos são conjugados.
Além de ser um exercício clássico em cursos de Álgebra Abstrata, essa propriedade introduz um conceito fundamental da teoria dos grupos: muitas características importantes de um elemento permanecem inalteradas por conjugação, ideia que desempenha um papel central no estudo da estrutura dos grupos.
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