Problema 1
Seja $G$ um grupo e sejam $a, b\in G.$ Mostre que os elementos $ab$ e $ba$ possuem a mesma ordem.
Solução
Sejam $n$ e $m$ as ordens de $ab$ e $ba$, respectivamente.
Assim, $(ab)^n=e$ e $(ba)^m=e$, onde $e$ é o elemento neutro de $G$.
Note que $$e=(ab)^n=a(ba)^{n-1}b.$$
Daí, segue que $$a(ba)^{n-1}ba=a\Longrightarrow a(ba)^n=a,$$
o que nos fornece $$(ba)^n=e.$$
Logo, $m$ divide $n$.
Da mesma forma, mostra-se que $n$ divide $m$.
Portanto, $m=n$.
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