Teorema de Pitágoras: Descubra o Segredo por Trás dos Triângulos Retângulos

A matemática é uma linguagem universal que nos permite decifrar os segredos do mundo ao nosso redor.

Ela desvenda padrões ocultos, resolve enigmas complexos e fornece as ferramentas necessárias para entender fenômenos naturais, construir edifícios impressionantes, projetar circuitos elétricos e até mesmo navegar pelos oceanos.

E no cerne da matemática, encontramos o Teorema de Pitágoras, uma das descobertas mais notáveis da história da geometria.

A seguir, você vai conhecer uma elegante relação entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo que pode ser demonstrada de muitas maneiras e que tem uma variedade de aplicações na matemática.

Espero que você tenha uma boa leitura.

Fundamentos da Geometria

A geometria é uma das áreas mais antigas e fundamentais da matemática, preocupada com o estudo de formas, tamanhos, medidas e propriedades dos objetos espaciais.

Antes de nos aprofundarmos no Teorema de Pitágoras, é importante estabelecer alguns conceitos básicos que servirão como alicerce para o nosso entendimento.

Triângulos e suas Classificações

Um triângulo é uma figura geométrica composta por três lados e três ângulos.

No contexto do Teorema de Pitágoras, os triângulos retângulos desempenham um papel central.

Eles são triângulos que possuem um ângulo reto, ou seja, um ângulo de $90º$. Os outros dois ângulos agudos (menores que $90°$) são complementares, somando sempre $90°$

Além dos triângulos retângulos, há outras classificações importantes, como os triângulos equiláteros (todos os lados e ângulos iguais), os triângulos isósceles (dois lados e ângulos iguais) e os triângulos escalenos (todos os lados e ângulos diferentes).

No entanto, para compreender plenamente o Teorema de Pitágoras, é crucial concentrar-se nos triângulos retângulos.

Medida de Ângulos e Lados

A medida de ângulos em graus é uma parte fundamental da geometria.

Um círculo completo é dividido em $360°$, e os ângulos são usados para determinar rotações, direções e inclinações.

No caso dos triângulos retângulos, o ângulo reto sempre mede $90°$, enquanto os outros dois ângulos agudos somam 90 graus, como mencionado anteriormente.

Além dos ângulos, a medida dos lados dos triângulos também desempenha um papel essencial.

O comprimento dos lados é frequentemente representado por letras minúsculas, como $a, b$, e $c$, onde $a$ é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) e $b$ e $c$ são os catetos (os lados que formam o ângulo reto).

Teorema de Pitágoras e Triângulos Retângulos

Agora que estabelecemos a base, podemos introduzir o Teorema de Pitágoras.

Este teorema afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa ($a$) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos ($b$ e $c$).

Matematicamente, isso pode ser expresso como:

\[a^2=b^2+c^2\]

Essa relação fundamental entre os lados de um triângulo retângulo é a base para calcular distâncias, resolver problemas de geometria e tem aplicações em várias áreas da matemática e ciências naturais.

Com essa compreensão dos conceitos básicos da geometria, estamos agora preparados para explorar mais profundamente o Teorema de Pitágoras e suas aplicações práticas.

O Teorema de Pitágoras em Detalhes

O Teorema de Pitágoras é uma pedra angular da geometria e da matemática, que desempenha um papel fundamental na compreensão das relações entre os lados de um triângulo retângulo.

Este teorema afirma o seguinte:

“Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”

Em termos mais simples, se você tem um triângulo com um ângulo reto (90 graus), então a soma dos quadrados das medidas dos dois lados mais curtos (os catetos) é igual ao quadrado da medida do lado mais longo (a hipotenusa).

A Fórmula do Teorema de Pitágoras

A expressão matemática do Teorema de Pitágoras é a seguinte: \[a^2=b^2+c^2\]

Onde:

• $a$ representa o comprimento da hipotenusa.
• $b$ e $c$ representam os comprimentos dos catetos.

Observando a figura acima, concluímos do Teorema de Pitágoras que a área do quadrado de lado $a$ é igual à soma das áreas dos quadrados de lados $b$ e $c$

Demonstração do Teorema de Pitágoras

Há várias maneiras de provar o Teorema de Pitágoras, incluindo demonstrações geométricas, demonstrações algébricas e argumentos de similaridade de triângulos.

A demonstração que mostraremos é devido James A. Garfield (1831-1881).

Garfield foi o 20° presidente dos Estados Unidos.

Antes de ser presidente, ele foi congressista republicano de Ohio de 1862 a 1880.

Enquanto servia no Congresso dos EUA, Garfield deu uma demonstrações mais interessantes do Teorema de Pitágoras já criadas.

Ela é baseada na figura a seguir.

A área de um trapézio de bases $b$ e $c$ e altura $b+c$ é \[A=\frac{(b+c)(b+c)}{2}.\]

Por outro lado, como você pode ver na figura, a área é igual à soma das áreas de três triângulos retângulos.

Assim, \[\frac{(b+c)^2}{2}=\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{a^2}{2}.\]

Daí, temos que \[\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}+bc=bc+\frac{a^2}{2},\] o que implica que \[a^2=b^2+c^2.\]

02 aplicações do Teorema de Pitágoras

Apresentaremos duas situações onde podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.

Diagonal de um quadrado

A primeira aplicação é no cálculo do comprimento da diagonal de um quadrado.

Seja $ABCD$ um quadrado com lado medindo $\ell$. Trace a diagonal $AC$ e denote o seu comprimento por $d$.

Aplicando o teorema ao triângulo $ABC$, temos \[d^2=\ell^2+\ell^2\Rightarrow d^2=2\ell^2\Rightarrow d=\ell\sqrt{2}.\]

Altura de um triângulo equilátero

Uma outra aplicação é para calcular a medida da altura de um triângulo equilátero.

Sejam $ABC$ um triângulo equilátero de lado de comprimento $\ell$ e $H$ o ponto médio do segmento $BC$.

Seja $h$ o comprimento da altura $AH$. Vamos usar o teorema de Pitágoras para calcular $h$ em função do lado do triângulo.

Para isso, considere o triângulo retângulo $CHB$. Pelo teorema de Pitágoras temos

\begin{eqnarray*}
\ell^2&=&\left(\frac{\ell}{2}\right)^2+h^2\Rightarrow\\ \Rightarrow h^2&=&\frac{3\ell^2}{4} \Rightarrow\\ \Rightarrow h&=&\frac{\ell\sqrt{3}}{2}.
\end{eqnarray*}

Conclusão

Neste artigo, discorremos um pouco sobre um dos Teoremas mais famosos da matemática.

Tal popularidade é demonstrada por suas centenas de provas, dentre elas a de um presidente dos Estados Unidos.

Além disso, na matemática, você se deparará com várias aplicações desse teorema fantástico.

Tudo isso mostra a grande importância que o Teorema de Pitágoras tem ao longo da história.

E você?

Já teve que usar o Teorema de Pitágoras alguma vez?