Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é sempre a mesma, conhecida como a diferença comum ou razão.
Elas são uma das sequências numéricas mais simples e intuitivas, mas sua simplicidade esconde uma riqueza de aplicações práticas e propriedades matemáticas fascinantes.
Ao longo deste artigo, examinaremos os elementos de uma progressão aritmética, suas propriedades e uma variedade de exemplos para ilustrar como a progressão aritmética se manifesta em diferentes campos de estudo.
O que é uma progressão aritmética?
Uma progressão aritmética é uma sequência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante.
Esse tipo de sequências são bastante comuns na vida real como mostram os exemplos a seguir.
Exemplo 1: Uma padaria assa $200$ pães no primeiro dia e aumenta sua produção em $20$ pães a cada dia. Quantos pães ela terá assado no quinto dia?
Assim, no segundo dia a padaria assa $220$ pães, no terceiro, $240$, no quarto, $260$ e no quinto, $280$.
Desse modo, a sequência $(200, 220, 240, 260, 280,\ldots )$ é uma progressão aritmética.
Exemplo 2: Um celular é lançado por R\$ 900,00 e desvaloriza em R\$ 100,00 por ano. Qual será o preço do celular após 3 anos?
Após 1 ano, o preço do celular será R\$ 800,00, após 2 anos, R\$ 700,00 e após 3 anos, R\$ 600,00.
Assim, a sequência $(900, 800, 700, 600,\ldots)$ também é uma progressão aritmética.
Elementos de uma progressão aritmética
Conheceremos agora os elementos de uma progressão aritmética.
Razão
Seja $(a_1, a_2,\ldots, a_n.\ldots)$ uma progressão aritmética.
Por definição temos que $a_2=a_1+r$, $a_3=a_2+r$, $a_4=a_3+r$, etc.
O número $r$ é chamado de razão.
No exemplo 1, a razão da progressão aritmética $(200, 220, 240, \ldots)$ é $r=20$. Já no exemplo 2, a razão é $r=-100$.
Termo geral
Considere novamente a progressão aritmética de razão $r$, $(a_1,a_2,a_3,\ldots)$.
Temos por definição $$a_2=a_1+r,$$ $$a_3=a_2+r=(a_1+r)+r=a_1+2r,$$
$$a_4=a_3+r=(a_1+2r)+r=a_1+3r$$
e assim sucessivamente.
De modo geral, temos $$a_n=a_1+(n-1)r,$$
onde $n$ representa o número do termo que desejamos encontrar.
Essa fórmula é conhecida como fórmula do termo geral de uma progressão aritmética. Ela é bastante útil para determinar qualquer termo específico da sequência.
Exemplo 3: Encontre o $10º$ termo da progressão aritmética com o primeiro termo igual a $8$ e uma razão de $3$.
Solução: Fazendo as substituições, temos $$a_{10}=a_1+9r=8+9\cdot 3=8+27=35.$$
Portanto, o $10°$ termo é $35$.
Exemplo 4: Em uma progressão aritmética, o terceiro termo é $10$ e o décimo termo é $35$. Qual é o quinto termo dessa progressão?
Solução: De $a_3=10$ e $a_{10}=35$, segue que
$$\left\{\begin{array}{l}
a_1+2r=10\\
a_1+9r=35
\end{array}\right.$$
e daí $7r=25$, ou seja, $r=\dfrac{25}{7}$. Agora, $a_1=10-2\cdot \dfrac{25}{7}=\dfrac{20}{7}$.
Por fim, $$a_5=a_1+4r=\frac{20}{7}+4\cdot \frac{25}{7}=\frac{120}{7}.$$
Fórmula da soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão aritmética
Agora vejamos como calcular a soma $S_n$ dos $n$ termos iniciais de uma progressão aritmética.
Afirmamos que se $(a_1, a_2,\ldots)$ é uma progressão aritmética de razão $r$, então $$S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}.$$
De fato, $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n$ por definição. Somando de trás para frente temos $S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+\cdots+a_2+a_1$.
Assim, $$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1).$$
Observe que cada parcela é da forma $a_i+a_{n-i+1}$.
Além disso, temos $$a_n-a_{n-i+1}=a_1+(n-1)r-(a_1+((n-i+1)-1))r$$
$$a_n-a_{n-i+1}=[(n-1)-(n-i)]r=(i-1)r,$$
ou seja, $$a_{n-i+1}=a_n-(i-1)r.$$
Portanto, $$a_i+a_{n-i+1}=[a_1+(i-1)r]+[a_n-(i-1)r]=a_1+a_n,$$
ou seja, todas as parcelas são iguais a $a_1+a_n$. Como temos $n$ parcelas, segue que $$2S_n=n\cdot(a_1+a_n)\Longrightarrow S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}.$$
Exemplo 5: Calcule a soma dos $20$ primeiros termos da progressão aritmética $(2, 8, 14,\ldots)$.
Solução: Temos $a_1=2$ e $r=6$. Daí $a_{20}=a_1+19r=2+19\cdot 6=2+114=116$ e $$S_{20}=\frac{(a_1+a_{20})\cdot 20}{2}=\frac{(2+116)\cdot 20}{2}=1180.$$
Exemplo 6: Qual a soma dos múltiplos positivos de $5$ formados $3$ algarismos?
Solução: Os múltiplos positivos de $5$ formados por $3$ algarismos constituem a progressão aritmética $$(100,105,110,\ldots,995).$$
Assim, $a_1=100, r=5$ e $a_n=995$. Vamos determinar o número de termos dessa progressão aritmética $$a_n=a_1+(n-1)r\Rightarrow 995=100+(n-1)\cdot 5\Rightarrow n=180.$$
Daí, a soma dos termos é $$S_{180}=\frac{(a_1+a_{180})\cdot 180}{2}=\frac{(100+995)\cdot 180}{2}=98550.$$
Conclusão
Em resumo, a progressão aritmética é um conceito fundamental em matemática que surge naturalmente em várias situações do cotidiano.
Neste artigo, exploramos os conceitos básicos das progressões aritméticas, desde a definição até a fórmula geral, e fornecemos diversos exemplos práticos para ilustrar como essa ferramenta matemática pode ser aplicada em situações do mundo real.
Esperamos explorar em outros artigos as relações das progressões aritméticas com outros tópicos da matemática, como a matemática financeira e a geometria.
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