A combinação de roupas em seu guarda-roupa, os sabores disponíveis em uma sorveteria ou mesmo as senhas possíveis para sua conta online – todos esses cenários têm algo em comum: a presença do princípio fundamental da contagem.
Quando nos deparamos com questões que exigem a análise de todas as possibilidades, a compreensão do Princípio Fundamental da Contagem torna-se o ponto de partida essencial.
Este princípio, muitas vezes negligenciado, é uma ferramenta fundamental para resolver problemas combinatórios, permitindo-nos calcular o número de maneiras diferentes em que eventos podem ocorrer.
Neste artigo, mergulharemos fundo no Princípio Fundamental da Contagem, explorando seus conceitos, exemplos práticos e como aplicá-lo em uma variedade de cenários desafiadores.
Prepare-se para desvendar os segredos por trás da contagem e aprimorar suas habilidades em resolução de problemas combinatórios.
O que é o Princípio Fundamental da Contagem?
O Princípio Fundamental da Contagem, também conhecido como princípio multiplicativo, é um conceito fundamental na área da análise combinatória.
Esse princípio é uma ferramenta essencial para resolver problemas que envolvem a determinação do número de maneiras possíveis que um evento ou conjunto de eventos pode ocorrer.
Em sua forma mais básica, o princípio multiplicativo afirma que se o evento $A$ pode ocorrer de $m$ maneiras diferentes e, se, para cada uma dessas $m$ maneiras possíveis de $A$ ocorrer, um outro evento $B$ pode ocorrer de $n$ maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento $A$ seguido de $B$ é $m\cdot n$.
Ainda podemos estender o Princípio Fundamental da Contagem para uma quantidade $n$ qualquer de eventos.
Ou seja, se um evento $A_i$ pode ocorrer de $m_i$ maneiras diferentes, para $i=1,2,\ldots,n$, então esses $n$ eventos podem ocorrer, em sucessão, de $m_1\cdot m_2\cdots m_n$ maneiras diferentes.
Aplicações do Princípio Fundamental da Contagem
Veremos a seguir alguns exemplos que podem ser resolvidos usando o Princípio Fundamental da Contagem.
Exemplo 1: Suponha que você está escolhendo roupas para o dia. Você tem 3 camisetas diferentes e 4 calças diferentes. De quantas maneiras diferentes você pode se vestir?
Solução: Para cada uma das 3 camisetas, você pode escolher 4 calças diferentes. Portanto, há \[3\cdot 4=12\] maneiras diferentes de se vestir.
Exemplo 2: Um casal está planejando um jantar e quer escolher uma entrada, um prato principal e uma sobremesa. Há 4 opções de entradas, 5 opções de pratos principais e 3 opções de sobremesas. Quantos menus diferentes esse casal pode criar?
Solução: Para cada uma das 4 entradas, você pode escolher 5 pratos principais diferentes e, em seguida, 3 sobremesas diferentes. Portanto, há \[4\cdot 5\cdot 3=60\] menus diferentes possíveis.
Exemplo 3: Suponha que você está criando uma senha de 4 dígitos usando números de 0 a 9. Quantas senhas diferentes você pode criar?
Solução: Para cada dígito na senha, você tem 10 opções (de 0 a 9). Como a senha tem 4 dígitos, você multiplica as opções para cada dígito: \[10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10.000\] senhas diferentes possíveis.
Exemplo 4: Suponha agora que os dígitos da senha não podem se repetir. Quantas senhas você pode criar?
Solução: O primeiro dígito pode ser escolhido de 10 maneiras (0 a 9). Para o segundo dígito, você tem 9 opções restantes (pois não pode repetir o primeiro dígito), para o terceiro dígito, 8 opções e para o quarto dígito, 7 opções. Portanto, o número total de senhas diferentes é \[10\cdot9\cdot 8\cdot 7=5040.\]
Exemplo 5: Quantos números naturais com 3 algarismos distintos existem?
Solução: Note que para escolher o algarismo das centenas, temos 9 opções (1 a 9), pois o algarismo 0 não é permitido.
Agora, temos 9 possibilidades para o algarismo das dezenas, pois não podemos repetir o algarismo das centenas.
E temos 8 possibilidade para o algarismo das unidades, já que não podemos repetir os algarismos das centenas e da dezenas.
Portanto, existem $9\cdot 9\cdot 8=648$ números naturais com 3 algarismos distintos.
Exemplo 6: Quantos números naturais pares com 3 algarismos distintos existem?
Solução 1: Observe que agora temos uma restrição para o algarismo da unidade: ele deve ser par. Por isso, devemos começar por ele.
Temos 5 possibilidades para o último algarismo, a saber, 0, 2, 4, 6 ou 8.
Note que
- se o zero foi usado como último algarismo, temos 9 possibilidades para o algarismo das centenas;
- se o zero não foi usado como último algarismo, temos 8 possibilidade para o algarismo das centenas.
Sendo assim, vamos contar os números separadamente: os que terminam em zero e os que não terminam.
- No primeiro caso, temos uma possibilidade para o último algarismo, 9 possibilidades para o primeiro e 8 possibilidades para o segundo e assim, temos \[9\cdot8\cdot1=72\] números que terminam em zero.
- No segundo caso, temos 4 possibilidades para o último algarismo (2, 4, 6 ou 8), 8 possibilidades para o primeiro (não pode ser zero e não pode ser igual ao último) e 8 possibilidades para o segundo (não podemos repetir os números usados na casa das unidades e das centenas). Logo, temos \[8\cdot 8\cdot 4=256\] números pares que não terminam em zero.
Somando os dois números obtidos chegamos a $72+256=328$ números pares com 3 algarismos distintos.
Solução 2: Uma outra forma de fazer isso é contar os números ímpares de 3 algarismos distintos e subtrair do número total, obtido no exemplo anterior.
Temos 5 possibilidades para o algarismo das unidades (1, 3, 5, 7 ou 9), 8 possibilidades para o algarismo das centenas e 8 para o algarismo das dezenas.
Assim, temos $8\cdot8\cdot5=320$ números ímpares de 3 algarismos distintos.
Subtraindo de 648, obtemos $648-320=328$, que é a quantidade de números pares de 3 algarismos distintos.
Permutações simples
Uma permutação simples de $n$ objetos é qualquer agrupamento ordenado desses objetos, ou seja, a ordem em que esses $n$ objetos são dispostos é importante.
Veremos a seguir que o Princípio Fundamental da Contagem desempenha um papel fundamental no cálculo de permutações simples.
Para calcular a quantidade $P(n)$ de permutações de $n$ objetos, observamos que para ocupar uma primeira posição há $n$ possibilidades.
Uma vez escolhido o objeto da primeira posição, temos $n-1$ possíveis objetos para ocupar a segunda posição, $n-2$ para a terceira e assim por diante.
Quando chegarmos a $n$-ésima posição, temos apenas um objeto possível para ocupá-la. Assim, pelo princípio multiplicativo, obtemos \[P(n)=n(n-1)\cdots 2\cdot 1=n!\]
Arranjos simples
Um arranjo simples de $n$ elementos tomados $r$ a $r$, é qualquer seleção ordenada de $r$ elementos distintos, onde $n\geq 1$ e $r\leq n$ são números naturais.
Assim, nos arranjos simples, a ordem em que os elementos estão dispostos é importante.
Por exemplo, no conjunto $\{1,2,3,4\}$ os arranjos $$1\; \;2\quad\mbox{e}\quad 2\;\;1$$ são diferentes.
Usaremos o princípio multiplicativo para contar o número $A_n^r$ de arranjos simples de $n$ elementos tomados $r$ a $r$.
Para fazer isso, suponha que tenhamos $n$ objetos com quais queremos ocupar $r$ lugares.
O primeiro lugar pode ser ocupado de $n$ maneiras.
Como os elementos no arranjo devem ser distintos, temos $n-1$ possibilidades para ocupar o segundo lugar.
Em seguida, podemos ocupar a terceira posição de $n-2$ maneiras e assim por diante, de modo que para o $r$-ésimo lugar temos $n-(r-1)$ possibilidades.
Assim, pelo princípio multiplicativo temos $n(n-1)(n-2)\cdots(n-(r-1))$ maneiras de ocupar os $r$ lugares.
Portanto,
\begin{eqnarray*}
A_n^r&=&n(n-1)(n-2)\cdots(n-(r-1))\\&=&n(n-1)(n-2)\cdots(n-(r-1))\cdot\frac{(n-r)(n-r-1)\cdot 2\cdot1}{(n-r)(n-r-1)\cdot 2\cdot1}\\&=&\frac{n!}{(n-r)!}.
\end{eqnarray*}
Observe que uma permutação simples de $n$ elementos é um arranjo simples de $n$ tomados $n$ a $n$.
Combinações simples
Uma combinação simples de $n$ elementos tomados $r$ a $r$, onde $n\geq 1$ e $r$ é um número natural tal que $r\leq n$, são todas as seleções não ordenadas de $r$ desses $n$ elementos.
Nesse caso, a ordem dos elementos não é levada em consideração.
Voltando ao exemplo do conjunto $\{1,2,3,4\}$, as combinações $1\;\;2$ e $2\;\;1$ são iguais.
Vamos contar agora o número de combinações simples $C_n^r=\binom{n}{r}$ de $n$ elementos tomados $r$ a $r$.
Sabemos que o número de arranjos simples é $A_n^r$.
Cada lista de $r$ elementos nos dá $r!$ arranjos simples. Mas como nas combinações a ordem não é importante, devemos dividir $A_n^r$ por $r!$ para obter o número de combinações simples.
Assim, \[C_n^r=\frac{A_n^r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}.\]
Observação: Quando $r>n$, define-se $C_n^r=0$.
Conclusão
Como podemos ver, o Princípio Fundamental da Contagem é uma ferramenta que fornece o ponto de partida para resolver uma ampla gama de problemas combinatórios.
Como discutido ao longo deste artigo, ele permite que contemos os eventos de maneira sistemática, desde situações simples até problemas mais complexos.
Por fim, usamos esse princípio para deduzir as famosas fórmulas para o cálculo de permutações, arranjos e combinações simples.
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