Números primos | Por que há uma infinidade deles?

Os números primos são os “átomos” dos números inteiros.

Isso porque cada número inteiro maior que 1 pode ser escrito como um produto de potências desses números.

Isso permite que vários problemas na Teoria dos Números se reduza a problemas sobre números primos.

Esses números, apesar de sua simples definição, estão cercados de vários mistérios, como as conjecturas de Goldbach e dos primos gêmeos.

O objetivo deste artigo é demonstrar o Teorema de Euclides que afirma que existe uma quantidade infinita de números primos.

Portanto, continue lendo e veja (ou reveja) como foi provado um dos mais antigos e mais atraentes teoremas da matemática.

Divisibilidade nos inteiros

Antes de demonstrarmos que o conjunto dos números primos é infinito, apresentaremos alguns conceitos básicos sobre divisibilidade.

Sejam $a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0$. Dizemos que $b$ divide $a$ (denotamos isso por $b\mid a$) se existe $c\in \mathbb{Z}$, tal que $a=bc$.

Nesse caso, dizemos que $a$ é divisível por $b$ ou que $b$ é um divisor de $a$.

Há várias propriedades da divisibilidade nos inteiros. Entretanto, mostraremos aqui a que é necessária para o nosso objetivo.

Sejam $a,b$ e $c$ números inteiros tais que $c\ne 0$ e $c\mid a$ e $c\mid b$. Então $$c\mid a-b.$$
Para verificar isso, tome $a^{\prime },b^{\prime }$ tais que $a=a^{\prime }c$ e $b=b^{\prime }c$. Daí, segue que $$a-b=a^{\prime }c-b^{\prime }c=(a^{\prime }-b^{\prime })c.$$ Concluímos daí que $c\mid a-b$.

O que são os números primos

Seja $p>1$ um número inteiro. Dizemos que $p$ é primo se os únicos divisores positivos dele são $1$ e $p$.

Os primeiros 10 números primos são $2,3,5,7,11,13,17,19,23$ e $29$.

Existe uma maneira sistemática de construir uma lista de primos menores que um certo número $N$.

Trata-se do crivo de Eratóstenes.

Ele consiste em listar os números em crescente $2,3,\dots ,N$. Em seguida, sublinhamos o número $2$ (que é um número primo) e riscamos todos os seus múltiplos próprios na lista $$4,6,8,10,12,\dots .$$ O primeiro número não sublinhado e não riscado é o número $3$.

Esse número é primo. Assim, o sublinhamos e riscamos os seus múltiplos próprios da lista $$3,6,9,12,15,\dots .$$
O próximo número não sublinhado e não riscado é $5$, que também é primo. Sublinhamos o $5$ e riscamos os seus múltiplos próprios $10,15,20,25,\dots .$

Continuamos com o processo até que a lista contenha somente números riscados e sublinhados.

Os números sublinhados são todos primos.

Mostraremos a seguir como demonstrar que o conjunto dos números primos é infinito.

Demonstração de Euclides

A demonstração da infinitude dos primos devido a Euclides é bastante clássica.

Ela usa a técnica da demonstração por contradição.

Essa técnica consiste em supor que a afirmação oposta àquela que se quer provar é verdadeira e, a partir daí, chegar a uma contradição.

Nesse caso, vamos supor que o conjunto dos primos consiste apenas de uma quantidade finita de elementos, digamos, $p_1,p_2,\dots ,p_n$.

Daí, considere o seguinte número: $$P=p_1{p}_2\cdots p_n+1.$$

O número $P$ pode ser um número primo ou não.

• Se $P$ for primo, então obtemos um novo número primo, um absurdo.
• Se $P$ não for um número primo, ele possui um divisor primo $p$ diferente da lista inicial de primos. De fato, se $p$ fosse um dos $p_i$’s, então teríamos $$p\mid (P-p_1{p}_2\cdots p_n)=1,$$ novamente, um absurdo.

Essa contradição surgiu ao supormos que o conjunto de primos é finito.

Portanto, o conjunto de todos os primos é infinito.

Conclusão

À medida que encerramos nossa exploração da demonstração da infinitude dos números primos, é difícil não se maravilhar com a elegância da matemática.

E isso é somente a ponta do iceberg.

Há muito mais para explorar, descobrir e se encantar no que se diz respeito aos números primos.

Espero que esse artigo tenha despertado interesse em você e desmistificado aquela impressão de que a matemática é só fazer cálculos tediosos.

Forte abraço e até a próxima!