Os números primos são os “átomos” dos números inteiros.
Isso porque cada número inteiro maior que 1 pode ser escrito como um produto de potências desses números.
Isso permite que vários problemas na Teoria dos Números se reduza a problemas sobre números primos.
Esses números, apesar de sua simples definição, estão cercados de vários mistérios, como as conjecturas de Goldbach e dos primos gêmeos.
O objetivo deste artigo é demonstrar o Teorema de Euclides que afirma que existe uma quantidade infinita de números primos.
Portanto, continue lendo e veja (ou reveja) como foi provado um dos mais antigos e mais atraentes teoremas da matemática.
Divisibilidade nos inteiros
Antes de demonstrarmos que o conjunto dos números primos é infinito, apresentaremos alguns conceitos básicos sobre divisibilidade.
Sejam $a,b\in\mathbb{Z}, b\neq 0$. Dizemos que $b$ divide $a$ (denotamos isso por $b\mid a$) se existe $c\in \mathbb{Z}$, tal que $a=bc$.
Nesse caso, dizemos que $a$ é divisível por $b$ ou que $b$ é um divisor de $a$.
Há várias propriedades da divisibilidade nos inteiros. Entretanto, mostraremos aqui a que é necessária para o nosso objetivo.
Sejam $a,b$ e $c$ números inteiros tais que $c\neq 0$ e $c\mid a$ e $c\mid b$. Então $$c\mid a-b.$$
Para verificar isso, tome $a’, b’$ tais que $a=a’c$ e $b=b’c$. Daí, segue que $$a-b=a’c-b’c=(a’-b’)c.$$ Concluímos daí que $c\mid a-b$.
O que são os números primos
Seja $p>1$ um número inteiro. Dizemos que $p$ é primo se os únicos divisores positivos dele são $1$ e $p$.
Os primeiros 10 números primos são $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ e $29$.
Existe uma maneira sistemática de construir uma lista de primos menores que um certo número $N$.
Trata-se do crivo de Eratóstenes.
Ele consiste em listar os números em crescente $2, 3, \ldots, N$. Em seguida, sublinhamos o número $2$ (que é um número primo) e riscamos todos os seus múltiplos próprios na lista $$4,6,8,10,12,\ldots.$$ O primeiro número não sublinhado e não riscado é o número $3$.
Esse número é primo. Assim, o sublinhamos e riscamos os seus múltiplos próprios da lista $$3,6,9,12,15,\ldots.$$
O próximo número não sublinhado e não riscado é $5$, que também é primo. Sublinhamos o $5$ e riscamos os seus múltiplos próprios $10,15,20,25,\ldots.$
Continuamos com o processo até que a lista contenha somente números riscados e sublinhados.
Os números sublinhados são todos primos.
Mostraremos a seguir como demonstrar que o conjunto dos números primos é infinito.
Demonstração de Euclides
A demonstração da infinitude dos primos devido a Euclides é bastante clássica.
Ela usa a técnica da demonstração por contradição.
Essa técnica consiste em supor que a afirmação oposta àquela que se quer provar é verdadeira e, a partir daí, chegar a uma contradição.
Nesse caso, vamos supor que o conjunto dos primos consiste apenas de uma quantidade finita de elementos, digamos, $p_1, p_2,\ldots, p_n$.
Daí, considere o seguinte número: $$P=p_1p_2\cdots p_n+1.$$
O número $P$ pode ser um número primo ou não.
- Se $P$ for primo, então obtemos um novo número primo, um absurdo.
- Se $P$ não for um número primo, ele possui um divisor primo $p$ diferente da lista inicial de primos. De fato, se $p$ fosse um dos $p_i$’s, então teríamos $$p\mid (P-p_1p_2\cdots p_n)=1,$$ novamente, um absurdo.
Essa contradição surgiu ao supormos que o conjunto de primos é finito.
Portanto, o conjunto de todos os primos é infinito.
Conclusão
À medida que encerramos nossa exploração da demonstração da infinitude dos números primos, é difícil não se maravilhar com a elegância da matemática.
E isso é somente a ponta do iceberg.
Há muito mais para explorar, descobrir e se encantar no que se diz respeito aos números primos.
Espero que esse artigo tenha despertado interesse em você e desmistificado aquela impressão de que a matemática é só fazer cálculos tediosos.
Forte abraço e até a próxima!
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