Logaritmo: O Que É E Como Calcular

Você entende bem o conceito de logaritmo?

O logaritmo está fortemente relacionado com os expoentes.

Na verdade, o logaritmo é um expoente.

Se eu perguntar para você a que número eu devo elevar 3 para obter 9, qual seria a sua resposta?

O número 2, não é mesmo?

Mas a que número eu devo elevar o 3 para obter 5? Ou seja, qual o valor de $x$ que satisfaz $$3^x=5?$$

Para responder a essa pergunta, precisamos saber o que é e como calcular o logaritmo.

Então continue lendo esse artigo, pois ele foi feito justamente para esse propósito

O que é o logaritmo de um número?

O logaritmo de um número positivo $b$, na base $a$, com $a>0$ e $a\neq 1$, é um número $x$, tal que $a^x=b$.

Ou seja, $$\log_{a}b=x\Leftrightarrow a^x=b,\;\textrm{com} \;b>0, a>0, a\neq 1.$$

O número $b$ é chamado de logaritmando, $a$ é chamado base e $x$ é o logaritmo.

Exemplo 1

1. $\log_28=3$, pois $2^3=8$.
2. $\log_3\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}$, pois $3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$.
3. $\log_6\dfrac{1}{36}=-2$, pois $6^{-2}=\dfrac{1}{6^2}=\dfrac{1}{36}$.
4. $\log_51=0$, pois $5^0=1$.
5. $\log_88=1,$ pois $8^1=8$

Propriedades Básicas do Logaritmo

Veja a seguir as propriedades do logaritmo que generalizam os exemplos anteriores.

Para $00$ e para qualquer $y\in\mathbb{R}$,

• $\log_a1=0,$ pois $a^{0}=1$.
• $\log_aa=1$, pois $a^1=a$.
• $\log_aa^y=y$, pois $a^y=a^y$.
• $a^{\log_ab}=b$, pois $\log_ab=\log_ab$.

Exemplo 2
Calcule os seguintes logaritmos

1. $\log_327=\log_33^3=3.$
2. $\log_{17}\sqrt[3]{17}=\log_{17}17^{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}$.
3. $5^{\log_{5}12}=12.$

Exemplo 3 Calcule as seguintes somas.
(a) $\log_{100}0,001+\log_{1,5}\dfrac{4}{9}-\log_{1,25}0,64$
(b) $\log_{\sqrt[3]{9}}\sqrt{\dfrac{1}{27}}-\log_{\sqrt[3]{0,5}}\sqrt{8}+\log_{\sqrt[3]{100}}\sqrt[6]{0,1}$
Solução
(a) A ideia aqui é expressar os números na mesma base. Dessa forma, temos

• $0,001=100^{-\frac{3}{2}},$ o que implica $\log_{100}0,001=\log_{100}100^{-\frac{3}{2}}=-\dfrac{3}{2}$.
• $1,5=\dfrac{3}{2}$ e $\dfrac{4}{9}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}$, o que implica $\log_{1,5}\dfrac{4}{9}=\log_{\frac{3}{2}}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}=-2$.
• $1,25=\dfrac{5}{4}$ e $0,64=\dfrac{16}{25}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}$, o que implica $\log_{1,25}0,64=-2$.

Portanto,
$$\log_{100}0,001+\log_{1,5}\dfrac{4}{9}-\log_{1,25}0,64=-\frac{3}{2}-2-(-2)=-\frac{3}{2}.$$

(b) Seguindo a mesma ideia do item anterior temos

• $\sqrt[3]{9}=9^{\frac{1}{3}}$ e $\sqrt{\dfrac{1}{27}}=\sqrt{\dfrac{1}{9^{\frac{3}{2}}}}=9^{-\frac{3}{4}}=(9^{\frac{1}{3}})^{-\frac{9}{4}}$. Assim, $$\log_{\sqrt[3]{9}}\sqrt{\dfrac{1}{27}}=-\dfrac{9}{4}$$
• $\sqrt[3]{0,5}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ e $\sqrt{8}=2^{\frac{3}{2}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}}=\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{-\frac{9}{2}}$. Com isso, $$\log_{\sqrt[3]{0,5}}\sqrt{8}=-\dfrac{9}{2}$$
• $\sqrt[3]{100}=10^{\frac{2}{3}}$ e $\sqrt[6]{0,1}=10^{-\frac{1}{6}}=(10^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{4}}$. Portanto, $$\log_{\sqrt[3]{100}}\sqrt[6]{0,1}=-\frac{1}{4}.$$

Assim, $$\log_{\sqrt[3]{9}}\sqrt{\dfrac{1}{27}}-\log_{\sqrt[3]{0,5}}\sqrt{8}+\log_{\sqrt[3]{100}}\sqrt[6]{0,1}=-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}-\frac{1}{4}=2$$

Propriedades Operatórios do Logaritmo

Vejamos agora algumas propriedades envolvendo as operações matemáticas que vão ser úteis nos cálculos.

Logaritmo do produto

Em uma base $a$, o logaritmo do produto de dois números reais positivos é igual a soma dos logaritmos desses números.

Ou seja, se $00$ e $c>0$ então $$\log_a(b\cdot c)=\log_ab+\log_ac.$$

Para mostrar isso, faça $\log_ab=x$, $\log_ac=y$ e $\log_a(b\cdot c)=z$. Com isso, $$a^x=b, a^y=c\;\textrm{e}\;a^z=b\cdot c.$$ Daí segue que $a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}=a^z,$ ou seja, $x+y=z$. Assim, $$\log_a(b\cdot c)=\log_ab+\log_ac.$$

Podemos estender essa propriedade para o caso do logaritmo de $n$ números positivos.

Isto é, se $0<a\neq 1$e $b_1, b_2,\ldots, b_n$ são números positivos então $$\log_a(b_1\cdot b_2\cdot\ldots\cdot b_n)=\log_ab_1+\log_ab_2+\ldots+\log_ab_n.$$

Exemplos
(a) $\log_6(4\cdot 5)=\log_65+\log_64$
(b) Se $x>0,$então $$\log_a(x(x^2+1))=\log_ax+\log_a(x^2+1).$$

Se sabemos apenas que $b\cdot c>0$, então devemos escrever $$\log_a(b\cdot c)=\log_a|b|+\log_a|c|, 0<a\neq 1.$$

Por exemplo, $$\log_4((-5)\cdot (-8))=\log_4|-5|+\log_4|-8|.$$

Logaritmo do quociente

Em uma base $a$, o logaritmo do quociente de dois números reais positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

Isto é, se $00$ então $$\log_a\left(\dfrac{b}{c}\right)=\log_ab-\log_ac.$$

Para mostrar isso, escreva $x=\log_ab$, $y=\log_ac$ e $\log_a\left(\dfrac{b}{c}\right)=z.$ Com isso, $$a^x=b, a^y=c\;\textrm{e}\;a^z=\dfrac{b}{c}.$$ Assim, $$a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}=a^z,$$ donde segue que $z=x-y,$ ou seja, $$\log_a\left(\dfrac{b}{c}\right)=\log_ab-\log_ac.$$

Exemplos

(a) $\log_9\left(\dfrac{7}{5}\right)=\log_97-\log_95$

(b) Se $x>0$, então $$\log_3\left(\dfrac{x}{x
+5}\right)=\log_3x-\log_3(x+5).$$

Se soubermos apenas que $\dfrac{b}{c}>0$, então escrevemos $$\log_a\left(\dfrac{b}{c}\right)=\log_a|b|-\log_a|c|, 0<a\neq 1.$$ Por exemplo, $$\log_6\left(\frac{-5}{-9}\right)=\log_6|-5|-\log_6|-9|.$$

Logaritmo da Potência

Em qualquer base $a$ ($0<a\neq 1$), o logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

Ou seja, se $00$ e $\alpha\in\mathbb{R}$, então $$\log_{a}b^{\alpha}=\alpha\log_ab.$$

Para verificar isso, sejam $x=\log_ab$ e $y=\log_ab^{\alpha}$. Segue daí que $$a^x=b\;\textrm{e}\;a^y=b^{\alpha},$$ o que implica que $$a^y=(a^x)^{\alpha}=a^{\alpha\cdot x}.$$

Portanto, $$y=\alpha\cdot x,$$ como queríamos demonstrar.

Uma consequência imediata da propriedade acima é: se $00$ e $n\in\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}$, então $$\log_a\sqrt[n]{b}=\log_ab^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}\log_ab.$$

Observe que sabendo somente somente que $b^{\alpha}>0$, então escreve-se $$\log_ab^{\alpha}=\alpha\log_a|b|.$$

Exemplos
(a) $\log_56^4=4\log_56$
(b) $\log_3\sqrt[4]{7}=\frac{1}{4}\log_37$
(c)$\log_2\dfrac{1}{3^5}=\log_23^{-5}=-5\log_23$
(d) Se $x\neq 0$, então $\log_a{x^2}=2\log_a|x|$.

Mudança de base

Uma propriedade que permite a conversão das bases de logaritmos em uma única base é bastante útil.

De fato, para você poder fazer operações com logaritmos é necessário que eles estejam na mesma base.

E a propriedade que permite isso é a propriedade de mudança de base.

Ela nos diz que se $a, b, c$ são números reais positivos e $a$ e $c$ diferentes de 1, então $$\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}.$$

Para demonstrar isso, escrevamos $$x=\log_ab, y=\log_cb\;\textrm{e}\;z=\log_ca.$$

Daí, temos que

• $x=\log_ab$ implica que $a^x=b$,
• $y=\log_cb$ implica que $c^y=b$ e
• $z=\log_ca$ implica que $c^z=a$.

Com isso, $$a^x=b\Rightarrow (c^z)^x=b=c^y\Rightarrow zx=y\Rightarrow x=\frac{y}{z},$$ ou seja, $$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca},$$ como queríamos demonstrar.

Vejamos agora como usar a mudança de base na prática.

Exemplos
(1) Converta $\log_35$ para a base 2.

Solução

Aplicando a propriedade da mudança de base, temos $$\log_35=\frac{\log_25}{\log_23}$$

(2) Converta $\log_{100}3$ para a base 10.

Solução

Temos $$\log_{100}3=\frac{\log_{10}3}{\log_{10}100}=\frac{\log_{10}3}{2}.$$
Podemos ainda obter algumas consequências da propriedade de mudança de base.

Proposição 1: Se $a$ e $b$ são números reais positivos diferentes de 1, então $$\log_ab=\frac{1}{\log_ba}.$$
Demonstração

Convertendo $\log_ab$ para base $b$, obtemos $$\log_ab=\frac{\log_bb}{\log_ba}=\frac{1}{\log_ba},$$
como queríamos.

Proposição 2: Se $a$, $b$ são reais positivos com $a\neq1$ e $\beta \in\mathbb{R}-{0},$ então $$\log_{a^{\beta}}b=\frac{1}{\beta}\log_ab.$$
Demonstração

Convertendo $\log_{a^\beta}b$ para a base $a$, obtemos $$\log_{a^{\beta}}b=\frac{\log_ab}{\log_aa^{\beta}}=\frac{1}{\beta}\log_ab.$$

O logaritmo comum

Chamaremos de logaritmo comum, o logaritmo na base 10.

Esse logaritmo em especial é útil devido à sua conexão com nosso sistema decimal, sistema métrico e notação científica.

É comum escrever $$\log_{10}b=\log b.$$

O logaritmo natural

O logaritmo natural de um número é o logaritmo desse número na base $e=2,7182,\ldots$. ou seja, $$x=\log_eb\Leftrightarrow e^x=b$$

Para denotar o logaritmo usaremos a abreviação $\ln.$ Ou seja, $\ln b$ significa $\log_eb$.

Problemas envolvendo logaritmos

Vejamos agora como resolver problemas que envolvem os logaritmos.

Problema 1

(UCDB-MS) Se $x=\log_2\left(\dfrac{3}{2}\right)+\log_2\left(\dfrac{4}{3}\right)+\log_2\left(\dfrac{5}{4}\right)+\ldots+\log_2\left(\dfrac{10}{9}\right),$ então $x$ é igual a:
a) 2
b) $\log_25$
c) $\log_26$
d) 3
e) $\log_{2}10$

Solução.

Usando a propriedade do logaritmo temos $$x=\log_23-\log_22+\log_24-\log_23+\log_25-\log_2 4+\ldots\log_210-\log_29$$

daí, segue que $$x=\log_210-\log_22=\log_2\left(\dfrac{10}{2}\right)=\log_25.$$

Por isso, a alternativa correta é a b).

Problema 2

(Mackenzie-SP) O produto $(\log_23)\cdot(\log_34)\cdot(\log_45)\cdot\ldots\cdot\log_{63}64$ é igual a
a) $\log_364$
b) $\log_263$
c) 2
d) 4
e) 6

Solução.

Observe primeiro que as bases dos logaritmos são diferentes. logo, para efetuarmos as operações devemos fazer mudança de bases.

Nesse caso, vamos mudar para a base 2. Sendo assim, temos

\begin{eqnarray*}
(\log_23)\cdot(\log_34)\cdot(\log_45)\cdot\ldots\cdot\log_{63}64&=&\log_23\cdot \frac{\log_24}{\log_23}\cdot\frac{\log_25}{\log_24}\cdot\ldots\cdot\frac{\log_264}{\log_263}\\&=&\log_264\\&=&6
\end{eqnarray*}

portanto, a alternativa correta é a e).

Problema 3

(U.E. Londrina-PR) O valor da expressão $$\dfrac{\log_31+\log0,01}{\log_2\left(\dfrac{1}{64}\right)\cdot\log_4\sqrt{8}}$$ é:
a) $\dfrac{4}{15}$

b) $\dfrac{1}{3}$

c) $\dfrac{4}{9}$

d) $\dfrac{3}{5}$

e) $\dfrac{2}{3}$

Solução

Temos $$\dfrac{\log_31+\log0,01}{\log_2\left(\dfrac{1}{64}\right)\cdot\log_4\sqrt{8}}=\frac{0+\log 10^{-2}}{\log_22^{-6}\cdot\log_44^{\frac{3}{4}}},$$ pois $\sqrt{8}=2^{\frac{3}{2}}=(2^2)^{\frac{3}{4}}$. Logo, $$\frac{0+\log 10^{-2}}{\log_22^{-6}\cdot\log_44^{\frac{3}{4}}}=\frac{-2}{(-6)\cdot\frac{3}{4}}=\frac{-2}{-\frac{9}{2}}=\frac{4}{9}.$$ Portanto, a resposta certa é a c).

Problema 4

(UERJ – 2015) Observe a matriz $A$, quadrada e de ordem três.

$$A=\left[\begin{array}{lll}
0,3 & 0,47 & 0,6\\
0,47 & 0,6 & x \\
0,6 & x& 0,77
\end{array}\right]$$

Considere que cada elemento $a_{ij}$ dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de $(i + j)$.

O valor de $x$ é igual a:

a) 0,50
b) 0,70
c) 0,77
d) 0,87

Solução

Observe que os elementos $a_{23}$ e $a_{32}$ são iguais a $x$. Assim, pela definição dessa matriz $x=\log(2+3)=\log(3+2)=\log 5$.

Como $5=\dfrac{10}{2}$, segue que $$\log 5=\log 10-\log 2=1-\log 2.$$ O $\log 2$ é o valor que corresponde a $a_{11}$ que é $0,3$. Portanto, $$x=\log5=1-0,3=0,7.$$

Logo, a resposta certa é b).

Conclusão

Nesse artigo demos os primeiros passos no estudo de logaritmo.

Conhecemos as principais propriedades e como utiliza-las para efetuar cálculos e resolver problemas.

Agora você é capaz de responder à pegunta feita no início do artigo.

A que número eu devo elevar 3 para obter 5?

E a resposta é… $$\log_35.$$

Se esse conteúdo tiver ajudado você, compartilhe com um amigo seu para ajudá-lo também.