O que vale mais: R\$ 1000,00 hoje ou R\$ 1000,00 daqui a um ano?
Você provavelmente deve ter respondido R\$ 1000,00 hoje.
E por quê?
Pelas seguintes razões:
- Você poderia investir esse dinheiro hoje e receber um lucro no futuro;
- A moeda pode perder poder aquisitivo devido à inflação;
- Querer comprar algum bem imediatamente…
Sob quais condições você aceitaria receber uma determinada quantia numa data futura do que na data de hoje?
Seria interessante que essa quantia a ser recebida fosse um resultado da soma da quantia a receber na data de hoje mais um acréscimo denominado juro.
Para determinar o valor desse acréscimo precisamos analisar alguns fatores, como por exemplo
- Uma quantia em dinheiro;
- Período de tempo;
- Taxa de juros e, sobretudo
- Uma fórmula de calcular.
Meu objetivo nesse artigo é te mostrar uma forma de calcular esses acréscimos, conhecidos como juros simples.
Juro simples é um assunto que aparece bastante principalmente em concursos públicos. Por isso, é muito importante saber como calcular e resolver problemas sobre juros simples.
Então aperte os cintos e vamos ao conteúdo sobre juros simples.
Boa leitura!
Juros Simples: O que você precisa saber primeiro?
Antes de eu te mostrar o que é juro simples, vou definir alguns termos que serão fundamentais.
O que é Capital Inicial?
O Capital Inicial $C$ é o valor aplicado através de alguma operação financeira. É também chamado de Principal, Valor Presente, Valor Atual ou Valor Aplicado.
Seja em um investimento ou em um empréstimo, o capital inicial é o valor sobre o qual o valor do juro será cobrado.
Assim, quanto maior for o capital inicial maior serão os juros.
Mas o que é Juro?
O juro $j$ é a remuneração pelo capital emprestado por um certo período de tempo.
Ou seja, se uma pessoa física ou jurídica empresta uma determinada quantia de dinheiro, ela deixa de dispor desse dinheiro por um certo tempo e em compensação recebe uma recompensa por ter abrido mão desse valor durante esse período.
Assim, para quem paga é uma despesa e para quem recebe é um rendimento.
Veja um exemplo.
Digamos que você fez um investimento de R\$ 10.000,00 com a promessa de receber no final do mês R\$ 10.100,00, ou seja, você vai receber uma remuneração de R\$ 100,00.
Nesse exemplo, o valor de R\$ 10.000,00 é o capital inicial desse investimento e o valor de R\$ 100,00 é o juro correspondente.
O que é Montante?
O montante $M$ é o saldo ou valor futuro de uma operação financeira. Ele é igual à soma do capital inicial e dos juros, ou seja, $$M=C+j.$$
O montante também é conhecido como valor futuro, valor final ou valor de resgate.
No exemplo anterior, o montante é de R\$ 10.100,00.
O que é Prazo?
O prazo $t$ é o período de tempo que dura uma operação financeira.
Quanto mais tempo o dinheiro está aplicado, maiores serão os juros na operação.
O tempo pode ser medido em dias, meses, semestres, anos, etc.
O que é taxa de juros?
O juro em si não é um bom indicador de uma determinada operação.
Isso porque um determinado valor $j$ pode ser determinado por vários pares de valores C e M, uma vez que $j=M-C$. Por exemplo, considere as duas situações de aplicações feitas em um mesmo período em que se obtém R\$ 100,00 de juros: na primeira, o capital emprestado é R\$ 1.000,00; na segunda, o capital emprestado é R\$ 5.000,00.
Em ambos os casos, os juros foram os mesmos. No entanto, na primeira situação, cada R\$100,00 emprestados renderam R\$10,00 e na segunda renderam R\$ 2,00.
Por outro lado, poderíamos obter os mesmos R\$ 100,00 em outras situações de operações diferentes: após 1 mês de aplicação ou após 6 meses.
De novo, em ambas as situações, os juros foram os mesmos. Entretanto, na primeira situação, em apenas 1 mês de empréstimo, obteve-se a mesma quantia de juros que na segunda, que demorou 6 meses. Pode-se dizer que a primeira aplicação é 6 vezes mais rentável do que a segunda.
Assim, precisamos de um indicador adequado para medir, comparar ou avaliar uma
operação financeira. E esse indicador é o que vamos chamar de taxa de juro.
A taxa de juros $i$ é definida como sendo o quociente entre o valor de juros gerados no primeiro período de tempo (mês, trimestre, ano, etc.) pelo valor do capital emprestado: $$i=\frac{j}{C}.$$
A taxa de juros pode ser expressa em duas formas:
- forma unitária (ou decimal);
- forma percentual.
Exemplo: Um empréstimo de R\$ 5.000,00 rendeu R\$ 500,00 no primeiro mês. Qual a taxa de juros?
Por definição, $$i=\frac{j}{C}=\frac{500}{5000}=0,10 \;\mbox{a.m.}=10\%\;\mbox{a.m}.$$
Uma taxa unitária 0,10 ao mês significa um juro de R\$ 0,10 a cada R\$ 1,00 de capital inicial por mês de empréstimo. Já uma taxa percentual de 10% ao mês significa um juro de R\$ 10,00 a cada R\$ 100,00 de principal por mês de empréstimo.
Taxas percentuais são utilizadas no meio financeiro e nas calculadoras financeiras, enquanto taxas unitárias são utilizadas em fórmulas.
O que são Juros Simples
Agora que você já conhece os principais termos, está na hora de eu te mostrar o que são juros simples e como calculá-los.
O juro simples é o juro calculado com base no capital e inicial e é pago no final do empréstimo.
Ou seja, no regime de juros simples não há cálculo de juros a partir de juros.
Os juros simples também são conhecidos como ordinários ou lineares.
Mas como calcular os juros no regime de juros simples?
Considere um financiamento de R\$ 5.000,00, a uma taxa de juros simples de 25 %, a ser pago no fim de 3 anos. Veja a seguir uma tabela mostrando a evolução da dívida ao longo do tempo.
Assim, no fim dos três anos, os juros serão de $$j=M-C=8.750-5000=\mbox{R}\$3.750,00.$$
Agora, suponha uma operação financeira com uma evolução semelhante à anterior, na qual o Capital Inicial é $C$, a taxa de juros simples é $i$ e o prazo é $t$ anos.
Assim, no final do período teremos um montante de $$M=C(1+t\cdot i)$$ e um juro de $$j=M-C=C(1+t\cdot i)-C=C\cdot i \cdot t.$$
Portanto, para calcular os juros no regime de juros simples usamos a fórmula $j=C\cdot i\cdot t$.
Quando $C=\mbox{R}\$ 5.000,00$, $i=25%$ a.a. e $t=3$, obtemos $$j=5.000\cdot 0,25\cdot 3=\mbox{R}\$ 3.750,00.$$
Antes de resolvermos problemas sobre juros simples, eu vou te falar sobre taxas equivalentes no regime de juros simples.
Taxas Equivalentes no Regime de Juros Simples
Em certos problemas é necessário fazer uma conversão das taxas de juros, como por exemplo, converter uma taxa anual em uma taxa mensal.
Essa mudança é necessária quando as unidades de tempo do prazo e da taxa são diferentes, pois nas fórmulas da Matemática Financeira, o prazo e a taxa precisam estar na mesma unidade de tempo.
Para fazer isso, precisamos entender o conceito de taxas equivalentes.
Duas taxas $i_1$ e $i_2$ são equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, reproduzem a mesma quantia de juros ou o mesmo montante.
Considere agora o regime de juros simples.
Sejam $i_1$ e $i_2$ duas taxas de juros aplicadas ao mesmo capital $C$ nos prazos $t_1$ $t_2$, respectivamente. Aqui, $i_1$ e $t_1$ estão na mesma unidade de tempo, assim como $i_2$ e $t_2$.
Por definição, as taxas $i_1$ e $i_2$ são equivalentes se, e somente se, $$C(1+i_1\cdot t_1)=(C(1+i_2\cdot t_2))\Leftrightarrow i_1\cdot t_1=i_2\cdot t_2.$$
Exemplo 1: Qual a taxa anual equivalente a 10% ao semestre, em juros simples?
Sejam $i_a$ e $i_s$ as taxas anual e semestral respectivamente. Como 1 ano tem dois semestres, temos $$i_a\cdot 1=i_s\cdot 2=0,1\cdot 2=0,2=20\%.$$
Portanto, a taxa anual, em juros simples, é de 20%.
Exemplo 2: Calcular a taxa trimestral equivalente a 15 % a.a.
Sejam $i_a$ e $i_t$ as taxas anual e trimestral, respectivamente. Já que 1 ano tem 4 trimestres, temos $$0,15\cdot 1=i_t\cdot 4\Rightarrow i_t=\frac{0,15}{4}=0,0375=3,75\%.$$
Problemas Resolvidos de Concursos Públicos sobre Juros Simples
Instituto AOCP – 2019 – PC-ES – Perito Oficial Criminal – Área 1 – Ciências Contábeis
Determinada empresa aplicou um capital de R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 10% ao mês, durante 20 meses.
Com base nessas informações, qual é o valor do montante durante o período de 20 meses?
a) R$ 200.000,00.
b) R$ 300.000,00.
c) R$ 100.000,00.
d) R$ 50.000,00.
e) R$ 10.000,00.
Solução 1:
Queremos encontrar o valor do montante. Sabemos que $M=C+j$. Assim, vamos calcular os juros primeiro.
Observe que a taxa de juros e o período estão na mesma unidade de tempo. Logo, podemos aplicar os valores diretamente na fórmula.
Lembre ainda que, em fórmulas, usamos a taxa de juros na forma unitária.
Assim, temos $$j=C\cdot i\cdot t=100000\cdot 0,10\cdot 20=200000.$$
Portanto, de $M=C+j$ segue que $$M=300000$$ e a alternativa correta é b).
Solução 2: Uma outra forma de resolver é usando a fórmula $M=C(1+it)$. Aplicando os valores obtemos $$M=100000(1+0,10\cdot 20)=100000\cdot 3=300000.$$ Portanto, a alternativa certa é a b), como obtido anteriormente.
EDUCA – 2019 – Prefeitura de Várzea – PB – Professor de Educação Básica II – Matemática
Ana Maria aplicou R\$1.200,00 a juros simples. Após cinco meses verificou que o montante da aplicação era de R$ 1.500,00. Nessas condições, a taxa mensal de juros da aplicação foi de:
a) 5%
b) 6%
c) 8%
d) 10%
e) 12%
Solução: Como temos o valor do montante, vamos usar a fórmula $M=C(1+it)$. Isolando o $t$: $$M=C(1+it)\Rightarrow it=\frac{M}{C}-1=\frac{M-C}{C}\Rightarrow i=\frac{M-C}{tC}.$$ Substituindo os valores, obtemos $$i=\frac{1500-1200}{5\cdot 1200}=\frac{300}{6000}=0,05.$$
Portanto, a taxa mensal de juros é 5% e alternativa correta é a a).
Instituto Machado de Assis – 2018 – Prefeitura de São Bernardo – MA – Professor – Matemática
Qual o capital inicial investido, para que se obtenha um montante R$ 2.950,00 durante um ano de aplicação à uma taxa de juro simples de 1,5% ao mês.
a) R$ 2.400,00
b) R$ 2.500,00
c) R$ 2.906,40
d) n.d.a.
Solução: Sabemos que $$M=C(1+it).$$ Logo, $$C=\frac{M}{1+it}.$$ Como 1 ano tem 12 meses, temos $t=12$ e, por isso, $$C=\frac{2950}{1+0,015\cdot 12}=\frac{2950}{1,18}=2500.$$ Portanto, a alternativa certa é a b).
FUNDATEC – 2018 – Prefeitura de Três de Maio – RS – Auxiliar em Saúde Bucal
Luísa aplicou um capital de R\$ 1500,00 à taxa de juros simples de 12% ao ano. Após um determinado período de tempo, a sua aplicação gerou um montante de R\$ 2.220,00. Assim, o tempo que o capital de Luísa ficou aplicado, em anos, corresponde a:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
Solução: O objetivo é calcular o tempo durante o qual o dinheiro ficou aplicado.
Como sabemos o valor do montante gerado, podemos usar a fórmula $M=C(1+it)$. Substituindo os valores na fórmula, obtemos
\begin{eqnarray*}
2220=1500(1+0,12t)&\Rightarrow& 1+0,12t=\frac{2220}{1500}\\ &\Rightarrow& 0,12t=\frac{720}{1500}\\ &\Rightarrow& 0,12t=0,48\\ &\Rightarrow& t=\frac{0,48}{0,12}=4.
\end{eqnarray*}
Portanto, o tempo em que o capital de Luísa ficou aplicado foi de 4 anos. Alternativa certa é a c).
CESPE – 2018 – STM – Conhecimentos Específicos – Cargo 3 (Analista Judiciário – Área Apoio Especializado – Especialidade Contabilidade)
No regime de juros simples, a taxa de 21% ao mês é equivalente à taxa de 252% ao ano.
( ) Errado
( ) Certo
Solução: Sejam $i_m=21\%$ a.m. e $i_a=252\%$ a.a. Como 1 ano tem 12 meses, podemos tomar $t_m=12$ e $t_a=1$. Temos que $$i_at_a=2,52$$ e $$i_mt_m=0,21\cdot 12=2,52.$$
Assim, $i_mt_m=i_at_a$ o que implica que as taxas são equivalentes. Portanto, a afirmação está certa.
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