Uma das mais antigas descobertas matemáticas é a irracionalidade da raiz quadrada de 2.
Esse número, denotado como $\sqrt{2}$, revelou-se um enigma intrigante para os gregos antigos e desempenhou um papel crucial na evolução da matemática.
Apresentaremos a seguir uma das demonstrações mais clássicas da irracionalidade que é devido a Euclides.
Números racionais e irracionais
Dizemos que um número $r$ é um número racional se existem $a, b\in\mathbb{Z}, b>0$, tais que \[r=\frac{a}{b}.\]
Do contrário, dizemos que ele é irracional.
Exemplo: Os números $-3$, $\dfrac{3}{20}$ e $0,17$ são números racionais.
Demonstração da irracionalidade de $\sqrt{2}$
A demonstração será por contradição.
Suponha, por contradição, que $\sqrt{2}$ seja um número racional, o que significa que pode ser expresso na forma de fração irredutível, ou seja, $$\sqrt{2} = \dfrac{a}{b},$$ onde $a$ e $b$ são inteiros coprimos, ou seja, $\mbox{mdc}(a,b)=1$.
Então, podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
$$2 = \left(\dfrac{a}{b}\right)^2$$
Isso nos dá:
$$2 = \dfrac{a^2}{b^2}$$
Agora, podemos multiplicar ambos os lados da equação por $b^2$ para eliminar o denominador:
$$2b^2 = a^2$$
Portanto, $a^2$ é um número par, porque é igual a 2 vezes algum outro número (no caso, $b^2$).
Agora, sabemos que se $a^2$ é par, então $a$ também deve ser par, porque o quadrado de um número ímpar é ímpar.
Podemos, então, escrever $a$ como $a = 2k$, onde $k$ é um número inteiro.
Substituindo isso na equação anterior:
$$2b^2 = (2k)^2$$
$$2b^2 = 4k^2$$
Dividindo ambos os lados por 2:
$$b^2 = 2k^2$$
Agora, temos que $b^2$ também é par, o que significa que $b$ também é par.
No entanto, isso entra em contradição com nossa suposição inicial de que $a$ e $b$ são inteiros coprimos. Se ambos $a$ e $b$ são pares, eles têm um fator em comum (2), o que contradiz a definição de fração irredutível.
Portanto, chegamos a uma contradição ao supor que $\sqrt{2}$ era um número racional.
Assim, $\sqrt{2}$ não pode ser expresso como uma fração simples, o que prova que é um número irracional.
Conclusão
A história da irracionalidade da raiz quadrada de 2 é uma jornada fascinante pelo mundo da matemática.
Ela nos lembra que mesmo os números mais simples podem esconder segredos profundos e desafiar nossa compreensão.
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