Como resolver uma inequação de 1º grau passo a passo

Você já se deparou com uma inequação de 1º grau e ficou em dúvida sobre como resolvê-la corretamente?

Muitos estudantes e concurseiros enfrentam dificuldades ao lidar com desigualdades matemáticas, especialmente quando envolvem sinais negativos, frações ou regras específicas.

Assim como as equações, as inequações de 1º grau fazem parte do dia a dia de quem estuda matemática básica.

No entanto, elas exigem atenção redobrada a detalhes que podem mudar completamente a resposta final.

Neste artigo, você aprenderá passo a passo como resolver inequações de 1º grau de forma clara, segura e sem medo de errar.

Vamos abordar desde os conceitos fundamentais até dicas práticas para evitar os erros mais comuns.

Primeiramente, veremos o que é uma inequação de 1º grau.

O que é uma inequação de 1º grau?

Uma inequação de 1º grau em $x$ é uma desigualdade que pode ser escrita na forma:

\[
ax + b < 0, \quad ax + b \leq 0, \quad ax + b > 0 \quad \text{ou} \quad ax + b \geq 0,
\]

em que $a$ e $b$ são números reais, com $a \neq 0$.

Exemplos:

$3x-5\leq 0$ é uma inequação de 1º grau
$2x + 4 > x-1$ também é uma inequação de 1º grau. Note que ela pode ser reescrita como $x+5>0$.
$\dfrac{x – 2}{3} \geq \dfrac{x + 1}{4}$ é uma inequação de 1º grau que pode ser reescrita como $$\frac{1}{12}x-\frac{11}{12}\geq 0.$$

O que significa resolver uma inequação de 1º grau?

Resolver uma inequação de 1º grau significa encontrar os valores de $x$ para os quais a desigualdade é verdadeira.

Tais valores de $x$ são chamados soluções da inequação.

O conjunto de todas as soluções de uma inequação é chamado conjunto solução.

Passo a passo para resolver uma inequação de 1º grau

Ao resolver inequações de 1º grau, seguimos basicamente os mesmos passos utilizados na resolução de equações de 1º grau.

A principal diferença está no seguinte cuidado: sempre que multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados da inequação por um número negativo, devemos inverter o sentido do sinal da desigualdade.

Abaixo, detalhamos os principais procedimentos da resolução.

Etapas que Mantêm o Sentido da Inequação.

Remoção de Parênteses e Agrupamento de Termos Semelhantes.
Primeiramente, quando for o caso, simplificamos cada lado da inequação, eliminando parênteses e combinando os termos semelhantes.

Por exemplo: \[2(x+4)-3x<x+10.\]

Simplificando, obtemos \[2x+8-3x<x+10\Rightarrow -x+8<x+10.\]
Adição ou Subtração do Mesmo Valor em Ambos os Lados.
Podemos somar ou subtrair a mesma quantidade dos dois lados da inequação sem alterar seu sentido. Por exemplo, \[7x-8\geq 29\Rightarrow 7x\geq 37.\]
Multiplicação ou Divisão por um Número Real Positivo.
Quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados por um número positivo, o sinal da desigualdade permanece o mesmo, como mostra o exemplo a seguir: $$5x\leq 15\Rightarrow x\leq 5.$$

Situações que invertem o sinal da desigualdade

Troca de Lados da Inequação.
Inverter os dois lados da inequação exige também a inversão do sinal. Por exemplo, $$x<4\;\text{é equivalente a}\; 4>x.$$
Multiplicação ou Divisão por um Número Real Negativo
Sempre que multiplicamos ou dividimos por um número negativo, devemos inverter o sentido da desigualdade. Como exemplo, temos $$-6x\leq 18\Rightarrow x\geq -3.$$

Como apresentar a solução de uma inequação de 1º grau

Depois de resolver uma inequação de 1º grau, o resultado final geralmente é uma expressão algébrica envolvendo uma desigualdade, como $$x>2\quad\text{ou}\quad x\leq -\frac{3}{4}.$$

Essa desigualdade representa todos os valores de $x$ que satisfazem a condição imposta.

A solução de uma inequação de 1º grau pode ser apresentada de diferentes formas:

Forma algébrica: é a própria desigualdade obtida ao final da resolução.

Exemplo: $x\geq -1.$
Forma em intervalo: usamos a notação de intervalo para indicar o conjunto dos valores que satisfazem a desigualdade.

Exemplo: \[x\geq -1\Rightarrow [x,+\infty).\]

1. O colchete [ indica que o número -1 está incluído na solução.
2. Usa-se o símbolo [ ou ] para inclusão da extremidade (casos com $\geq$ ou $\leq$).
3. Utilizamos ( ou ) para exclusão da extremidade (casos com $>$ ou $<$).
Representação gráfica na reta real: A solução pode ser ilustrada em uma reta numérica, marcando os pontos de forma distinta:
1. Ponto fechado (●): indica que a extremidade está incluída na solução (casos com $\geq$ ou $\leq$).
2. Ponto aberto (○): indica que a extremidade não está incluída na solução (casos com $>$ ou $<$).
3. Uma seta é usada para mostrar a direção em que os valores crescem ou decrescem.

Exemplo (para $x > 2$):

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1:

Resolver $ 2x-5 \leq 3 $

Solução: Vamos resolver essa inequação, tendo em vista o procedimento descrito acima.

Somando 5 dos dois lados, obtemos
\[ 2x \leq 8 \]
Em seguida, dividimos ambos os lados por 2:
\[ x \leq 4 \]

Resposta: $x \leq 4$ ou $(4,+\infty)$.

Exemplo 2:

Resolver $ -3x + 7 > 1 $

Solução:

Subtraia 7 dos dois lados:
\[ -3x > -6 \]
Divida por (-3) (e inverta o sinal):
\[ x < 2 \]

Resposta: $x < 2$ ou $(-\infty, 2)$.

Exemplo 3: Inequação com parênteses e mais de dois termos em ambos os lados

Resolver:
\[
2(x-3) + 5 < 3(x + 1)-4
\]

Resolução:

Aplicando a propriedade distributiva:
\[
2x-6 + 5 < 3x + 3-4
\]

Simplificando os termos semelhantes:
\[
2x-1 < 3x-1
\]

Subtraindo $2x$ dos dois lados:
\[
-1 < x-1
\]

Somando 1 nos dois lados:
\[
0 < x
\]

Solução:
\[
x > 0
\]
ou, em forma de intervalo:
\[
\left(0, +\infty\right)
\]

Exemplo 4: Inequação com frações

Resolver:
\[
\frac{2x – 1}{3} \geq \frac{x + 4}{2}
\]

Resolução:

Multiplicando ambos os lados por 6 (mínimo múltiplo comum entre 3 e 2):
\[
6 \cdot \frac{2x-1}{3} \geq 6 \cdot \frac{x + 4}{2}
\]

\[
2(2x-1) \geq 3(x + 4)
\]

Usando a propriedade distributiva:
\[
4x-2 \geq 3x + 12
\]

Subtraindo $3x$ dos dois lados:
\[
x-2 \geq 12
\]

Somando 2 nos dois lados:
\[
x \geq 14
\]

Solução:
\[
x \geq 14
\]
ou, em forma de intervalo:
\[
[14, +\infty)
\]

Dicas Finais

Não esqueça de revisar os cálculos simples de adição, subtração, multiplicação e divisão: eles fazem toda a diferença.
Após resolver, faça o teste: escolha um valor para $x$ que satisfaça a solução e confira se realmente deixa a inequação verdadeira.

Conclusão

Resolver uma inequação de 1º grau é uma habilidade que você pode dominar com prática e atenção aos detalhes.

Lembre-se do passo mais importante: cuidado ao lidar com números negativos!

Com o tempo, resolver inequações se tornará tão natural quanto resolver equações.

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