As grandezas diretamente e inversamente proporcionais estão presentes no dia a dia e por isso entendê-las é de grande importância. Elas mostram como a variação de uma grandeza implica na variação de uma outra.
Você já se perguntou como diferentes quantidades se relacionam umas com as outras?
Não é difícil intuir que se você percorrer uma certa distância com velocidades diferentes, você levará tempos diferentes.
Ou ainda, se uma costureira leva um certo tempo para produzir uma peça de roupa, então quanto mais horas trabalhadas mais peças de roupa são produzidas.
Essas conexões entre grandezas estão em várias situações do dia a dia.
Neste artigo, exploraremos mais essa relação entre essas quantidades do cotidiano, através das grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais: o que saber primeiro
Antes de entendermos o que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais, vamos relembrar alguns conceitos fundamentais que serão de grande ajuda para compreensão do tema.
Grandeza
O primeiro que devemos entender é o de grandeza.
Uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido.
Alguns exemplos de são
- velocidade
- tempo
- distância
- número de operários
- jornada de trabalho, etc.
Razão
Uma razão é uma relação entre duas grandezas ou quantidades, expressa pela divisão de uma pela outra.
A razão entre dois números $a$ e $b$ é representada por $\dfrac{a}{b}$, onde $b$ não é zero.
A razão pode ser expressa de diversas formas, como uma fração, um número decimal ou até mesmo uma porcentagem.
Por exemplo, se você tem $4$ maçãs e $2$ laranjas, a razão entre o número de maçãs e o número de laranjas é $\dfrac{4}{2}$, que simplifica para $2$.
Isso significa que há $2$ maçãs para cada laranja.
Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.
Se tivermos duas razões $\dfrac{a}{b}$ e $\dfrac{c}{d}$, onde $b$ e $d$ não são zero, então essas razões formam uma proporção se a igualdade $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ for verdadeira.
Nesse caso, dizemos que $a$ está para $b$ assim como $c$ está para $d$.
Algumas propriedades das proporções são
- se $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ então $ad=bc$.
- se $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ então $$\frac{a\pm b}{a}=\frac{c\pm d}{c}$$
- se $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ então $$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}.$$
Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais são duas ou mais quantidades que variam de tal forma que, se uma delas é multiplicada ou dividida por um número, a outra também é multiplicada ou dividida pelo mesmo número.
Em outras palavras, duas grandezas $x$ e $y$ são diretamente proporcionais se existe uma constante $k$ tal que
$$y=kx.$$
Isso significa que, à medida que $x$ aumenta ou diminui, $y$ aumenta ou diminui de maneira proporcional, mantendo a razão constante.
Ou ainda se $y_1$ e $y_2$ são os valores de $y$ correspondentes aos valores $x_1$, $x_2$ de $x$, então $$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}.$$Por exemplo, considere uma roda que em $1$ minuto dá $4$ voltas.
Então em $2$ minutos ela dá $8$ voltas, em $3$, dá $12$, e assim por diante.
Nesse caso, $x$ é o tempo em minutos, $y$ é a quantidade de voltas e $k=4$.
Exemplo 1: Se um tanque retangular tem volume de $750$ metros cúbicos, quantos desses tanques são necessários para armazenar a mesma quantidade de água que $300$ tanques cilíndricos, cada um com volume de $50$ metros cúbicos?
Solução: Primeiramente, vejamos qual a quantidade de água que seria armazenada por $300$ tanques cilíndricos com volume de $50$ metros cúbicos.
Para fazer isso, basta multiplicar o número desses tanques por $50$, ou seja, $$300\cdot 50=15000.$$
Daí, queremos saber qual a quantidade de tanques retangulares necessários para armazenar $15000\;m^3$ de água.
Ou seja, as grandezas aqui são a quantidade de tanques e o volume de água em $m^3$.
Temos ainda que essas grandezas são diretamente proporcionais.
Por isso, $$\frac{750}{1}=\frac{15000}{x},$$ o que implica $$x=\frac{15000}{750}=20.$$
Assim, são necessários $20$ tanques retangulares para armazenar a mesma quantidade de água que $300$ tanques cilíndricos de $50\;m^3$.
Escrevemos $x\propto y$ para indicar que $x$ é diretamente proporcional a $y$.
Grandezas inversamente proporcionais
Grandezas inversamente proporcionais são duas grandezas onde o aumento de uma delas resulta na diminuição proporcional da outra e vice-versa.
Isso significa que quando uma grandeza aumenta, a outra automaticamente diminui na mesma proporção e vice-versa.
Matematicamente, duas grandezas $x$ e $y$ são inversamente proporcionais se o produto delas é constante. Isso é expresso como: $$xy=k,$$
onde $k$ é uma constante.
Se $x$ aumenta, $y$ vai diminuir e vice-versa, mantendo o produto $k$ constante.
Nesse caso, se $y_1, y_2$ são os valores de $y$ correspondentes aos valores $x_1, x_2$ de $x$, respectivamente, então $x_1y_1=x_2y_2$ ou $$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}.$$
Exemplo: Sara dirige para o trabalho a uma velocidade média de $64$ quilômetros por hora e leva $45$ minutos para chegar ao trabalho. Se ela quiser chegar ao trabalho em $30$ minutos, qual deverá ser sua velocidade média?
Solução: Primeiramente, observe que $45$ e $30$ minutos são equivalentes a $0,75$ e $0,5$ hora, respectivamente.
Temos que as grandezas aqui são velocidade média e tempo, que são grandezas inversamente proporcionais.
De fato, para percorrer uma dada distância, quanto maior a velocidade menor o tempo necessário para percorrê-la.
Seja $x$ a velocidade média procurada.
Daí, temos $$64\cdot 0,75=x\cdot 0,5$$ o que implica $0,5x=48$, ou seja, $x=96$.
Portanto, para chegar ao trabalho em $30$ minutos, Sara precisará de uma velocidade média de $96$ quilômetros por hora.
Conclusão
Neste artigo, vimos as definições de grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Além disso, vimos que essas relações entre grandezas aparecem com bastante frequência no mundo real.
Desse modo, saber o que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais é fundamental para resolver certos tipos de situações problema.
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