Entendendo equações de 2º grau
As equações de segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas, desempenham um papel fundamental na matemática.
Elas tem a forma geral \[ax^2+bx+c=0,\] onde $a, b$ e $c$ são coeficientes, sendo $a\neq 0$, e $x$ é a variável desconhecida que estamos tentando encontrar.
Aqui estão os principais pontos a serem compreendidos sobre equações quadráticas.
Forma geral
A forma geral de uma equação quadrática é apresentada acima, onde $a$ é o coeficiente principal (não pode ser zero), $b$ é o coeficiente linear e $c$ é o termo constante.
Trabalharemos aqui com coeficientes reais.
Vejamos alguns exemplos:
- $2x^2-5x+7=0.$ Aqui, $a=2, b=-5$ e $c=7$.
- $x^2-4=0$. Nesse caso, $a=1, b=0$ e $c=-4$.
- $-x^2+12x=0$. Os coeficientes aqui $a=-1, b=12$ e $c=0$.
A derivação da fórmula de Bhaskara
A Fórmula de Bhaskara é um resultado matemático notável que nos permite encontrar as raízes (ou soluções) de uma equação quadrática na forma $ax^2+bx+c=0$, onde $a, b$ e $c$ são coeficientes conhecidos.
Veja a seguir o passo a passo como obter essa fórmula.
Passos detalhados para derivar a fórmula de Bhaskara
Passo 1: Dividindo a Equação por $a$
O primeiro passo na derivação da Fórmula de Bhaskara é dividir todos os termos da equação por $a$ ($\neq 0$).
Isso resulta na equação simplificada: \[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.\]
Passo 2: Completando o Quadrado
O próximo passo é completar o quadrado, transformando o lado esquerdo da equação em um quadrado perfeito.
Para fazer isso, adicionamos e subtraímos $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. Isso nos leva à forma: \[x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.\]
Agora, reorganizamos os termos:
\[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0.\]
Passo 3: Isolando o Quadrado Perfeito
Agora, isolamos o quadrado perfeito $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ no lado esquerdo da equação: \[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}\]
Passo 4: Aplicando a Raiz Quadrada
Para eliminar o quadrado e isolar $x$, aplicamos a raiz quadrada a ambos os lados:
\[x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}.\]
Passo 5: Isolando $x$
Finalmente, isolamos $x$ subtraindo $\frac{b}{2a}$ de ambos os lados:\[x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}},\] ou \[x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}},\]
ou ainda \[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\]
Esta é a Fórmula de Bhaskara completa, que nos permite encontrar as raízes de uma equação quadrática em termos dos coeficientes $a,b$ e $c$.
O número $b^2-4ac$ sob o radical é chamada de discriminante e determina a natureza das raízes (raízes reais distintas, iguais ou complexas) da equação quadrática.
Aplicando a fórmula de Bhaskara
Vejamos como resolver equações do 2º grau usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 1: Identificar os Coeficientes da Equação Quadrática
Antes de aplicar a fórmula de Bhaskara, é fundamental identificar os coeficientes da equação quadrática.
Lembre-se de que a forma padrão de uma equação quadrática é $ax^2+bx+c=0$, onde $a$, $b$ e $c$ são os coeficientes.
Exemplo: Para a equação $3x^2-6x+2=0$, os coeficientes são $a=3, b=-6$ e $c=2$.
Passo 2: Calcular o Discriminante ($\Delta$)
O discriminante ($\Delta$) é uma parte crítica da fórmula de Bhaskara e determina o tipo e o número de raízes da equação. O discriminante é calculado usando a fórmula: \[\Delta=b^2-4ac.\]
Exemplo: Para a equação $3x^2-6x+2=0$, o discriminante é \[\Delta=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 2=36-24=12.\]
Passo 3: Aplicar a Fórmula de Bhaskara
Agora que você identificou os coeficientes e calculou o discriminante, pode aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes.
A fórmula é dada por: \[x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.\]
Exemplo: No nosso caso, temos \[x_1=\frac{6+\sqrt{12}}{6}\quad\mbox{e}\quad x_2=\frac{6-\sqrt{12}}{6}.\]
Significado geométrico das raízes
Sabe-se que o gráfico de uma função da forma $f(x)=ax^2+bx+c, a\neq 0$ (chamada de função quadrática) é uma parábola.
Quando $a>0$, a concavidade da parábola é para cima e quando $a<0$, a concavidade é para baixo.
As raízes da equação $ax^2+bx+c=0$ são os zeros da função $f(x)=ax^2+bx+c$.
Assim, geometricamente, as raízes são as abcissas dos pontos de interseção da parábola com o eixo $Ox$.
Casos especiais e discriminante
A compreensão dos diferentes casos do discriminante é essencial ao resolver equações quadráticas com a Fórmula de Bhaskara. Aqui estão alguns pontos adicionais a considerar.
Caso 1: Discriminante positivo – duas raízes reais distintas.
Quando o discriminante ($\Delta$) é positivo, a equação quadrática possui duas raízes reais distintas.
Isso significa que a parábola representada pela equação intercepta o eixo $Ox$ em dois pontos diferentes.
Caso 2: Discriminante igual a zero – duas raízes reais iguais.
Quando o discriminante ($\Delta$) é igual a zero, a equação quadrática possui duas raízes reais idênticas.
Isso significa que a parábola toca o eixo $Ox$ em apenas um ponto.
Na prática, isso indica que há apenas uma solução para a equação quadrática.
Caso 3: Discriminante negativo – raízes complexas conjugadas.
Quando o discriminante ($\Delta$) é negativo, a equação quadrática não possui raízes reais.
Em vez disso, como os coeficientes da equação são reais, as raízes são complexas conjugadas.
Nesse caso a parábola não cruza o eixo $Ox$.
Conclusão
A Fórmula de Bhaskara é uma ferramenta matemática poderosa e versátil para resolver equações de segundo grau.
Nesse artigo, vimos que através do discriminante somos capazes de saber quantas raízes distintas pode ter e entendemos o significado geométrico das raízes.
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