A fatoração de polinômios é uma habilidade matemática fundamental que desempenha um papel essencial em diversas áreas da álgebra e além.
Desde a simplificação de expressões até a resolução de equações complexas, a fatoração proporciona uma poderosa ferramenta para compreender e manipular polinômios.
Neste artigo, exploraremos os princípios básicos da fatoração de polinômios, discutindo os principais métodos.
Além disso, ofereceremos dicas e estratégias para abordar a fatoração de maneira eficiente, capacitando os leitores a enfrentar desafios matemáticos com confiança.
O que são polinômios
Para falar de fatoração de polinômios, precisamos obviamente entender o que são polinômios.
Começaremos com os polinômios de uma variável.
Os polinômios de uma variável são expressões algébricas cujos termos são da forma $ax^n$, onde $n$ é um inteiro não negativo e $a$ é um número real chamado de coeficiente.
Chamamos de grau de um polinômio em uma variável
o maior expoente no polinômio.
Exemplos.
(1) $3x^8-5x^5+\sqrt[4]{11}$ é um polinômio de grau $8$.
(2) $\sqrt{123}$ é um polinômio de grau $0$ ($\sqrt{123}=\sqrt{123}x^{0}$).
(3) $\dfrac{1002}{11}x-425\pi$ é um polinômio de grau $1$.
(4) $\dfrac{10}{x}+x^5-12, \sqrt{x}-4$ e $178x^{-3}+45x^2-12x+1$ não são polinômios. De fato, a primeira expressão é equivalente a $10x^{-1}+x^5-12$ e a segunda é equivalente $x^{\frac{1}{2}}-4$.
Agora, vejamos o que são polinômios em duas variáveis.
Um polinômio em duas variáveis é uma expressão algébrica que consiste de termos da forma $ax^ny^m$.
O grau de cada termo em um polinômio em duas variáveis é a soma dos expoentes em cada termo. Desse modo o grau de $ax^ny^m$ é $n+m$.
O maior dentre todos os graus de termos é chamado de grau do polinômio.
Exemplos.
(1) O polinômio $3\sqrt{2}x^3y^2-7xy^8+10x^2+18\pi y-21$ tem grau $9$.
(2) $12x^5-18y^5+xy$ tem grau $5$.
(3) $2x^7y^2+9x^3y^6-x^2+17y+1$ tem grau $9$.
De maneira similar definimos polinômios com três ou mais variáveis.
Um polinômio com um, dois e três termos são chamados de monômios, binômios e trinômios, respectivamente.
Fatoração: O que é e por que é importante?
A fatoração de polinômios é um processo matemático que consiste em expressar um polinômio como um produto de dois ou mais polinômios.
Essa ferramenta é bastante útil quando o assunto é simplificação matemática.
No cerne dessa prática, encontramos a habilidade de decompor expressões polinomiais em fatores que, quando multiplicados, reconstituem a forma original.
Por exemplo, $x^2-49$ pode ser fatorado como $(x-7)(x+7)$ e $x^3y-y^4$ como $y(x^3-y^3)=y(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
A importância dessa técnica transcende a mera busca pela elegância matemática. De fato, com essa ferramenta é possível
- resolver equações e inequações;
- simplificar expressões algébricas;
- entender o comportamento de funções, etc.
Assim, a habilidade de fatorar não apenas confere uma compreensão da estrutura de polinômios, mas também abre caminhos para solucionar problemas aparentemente intratáveis.
Métodos de Fatoração de polinômios
Vejamos agora alguns métodos para fatorar polinômios.
Método do fator comum
Um método inicial e fundamental é a identificação e extração do fator comum de um polinômio.
O passo a passo desse método é dado a seguir:
- Identifique o fator comum: Examine todos os termos do polinômio e identifique o maior fator que é comum a todos eles. Este fator pode ser uma variável, um número ou uma combinação de ambos.
- Extraia o fator comum: Divida cada termo do polinômio pelo fator comum identificado e coloque-o fora dos parênteses.
- Verificação: Para garantir que o fator comum foi extraído corretamente, você pode multiplicar o fator comum pelos termos dentro dos parênteses para verificar se obtém o polinômio original. Se o resultado da multiplicação for igual ao polinômio original, a fatoração por fator comum foi realizada corretamente.
Exemplos:
(1) Considere o polinômio $6x^3+9x^2+3x$. Vamos fatorar usando os passos acima.
Primeiramente devemos identificar o maior fator comum a todos os termos. Nesse caso é $3x$.
Em seguida, dividimos cada termo do polinômio por esse fator comum para obter $$3x\cdot(2x^2+3x+1).$$
Por fim, para termos certeza que fatoramos corretamente efetuamos a multiplicação acima:
$$3x\cdot(2x^2+3x+1)=3x\cdot2x^2+3x\cdot 3x+3x\cdot 1=6x^3+9x+3x.$$
Como voltamos para o polinômio original, a fatoração que fizemos está correta.
(2) Fatore $14x^2y^4-7x^4y^8+28x^6y^{12}$. Note que o maior fator comum aqui é $7x^2y^4$. Com isso, temos $$7x^2y^4(2-x^2y^4+4x^4y^8).$$
Para verificar se essa fatoração está correta, efetuamos a multiplicação:
$$\begin{align*} 7x^2y^4(2-x^2y^4+4x^4y^8)&=7x^2y^4\cdot 2-7x^2y^4\cdot x^2y^4+7x^2y^4\cdot 4x^4y^8\\ &=14x^2y^4-7x^4y^8+28x^6y^{12}. \end{align*}$$
Fatoração por agrupamento
Este método baseia-se na identificação de grupos de termos comuns dentro do polinômio.
Ao agrupar esses termos, é possível simplificar a expressão, tornando mais clara a identificação de fatores comuns.
Vamos considerar o seguinte exemplo: $$x^3+3x^2+2x+6.$$
Podemos agrupar os termos da seguinte forma: $$(x^3+3x^2)+(2x+6).$$
Agora, usamos o método anterior para fatorar cada grupo separadamente. $$x^2(x+3)+2(x+3).$$
Observe que fizemos aparecer um fator comum a ambos os grupos, a saber, $(x+3)$. Assim, usando o método do fator comum novamente, obtemos $$(x+3)(x^2+2).$$
Diferença de quadrados
Quando deparamos com a diferença de dois quadrados, podemos utilizar um método específico de fatoração.
Se o polinômio assume a forma $a^2-b^2$, podemos expressá-lo como $(a+b)(a-b)$.
Um exemplo ilustrativo é: $$4x^2-49.$$
Aplicando o método de diferença de quadrados, obtemos: $$4x^2-49=(2x)^2-7^2=(2x-7)(2x+7).$$
Soma e diferença de cubos
Essa abordagem é frequentemente empregada quando nos deparamos com expressões cúbicas notáveis como $a^3+b^3$ e $a^3-b^3$.
A fatoração de $a^3+b^3$ é $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ e a de $a^3-b^3$ é $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$
Vejamos alguns exemplos básicos.
(1) $27x^3+8=(3x)^3+2^3=(3x+2)((3x)^2-3x\cdot 2+2^2)=(3x+2)(9x^2-6x+4)$
(2)
$$\begin{align}7x^6y^{12}-64&=(\sqrt[3]{7}x^2y^4)^3-4^3\\ &=(\sqrt[3]{7}x^2y^4-4)((\sqrt[3]{7}x^2y^4)^2+(\sqrt[3]{7}x^2y^4)\cdot4+4^2)\\ &=(\sqrt[3]{7}x^2y^4-4)(\sqrt[3]{49}x^4y^8+4\sqrt[3]{7}x^2y^4+16)\end{align}$$
Trinômio quadrado perfeito
Em termos simples, um trinômio quadrado perfeito é uma expressão polinomial do segundo grau com três termos que pode ser fatorada como o quadrado de um binômio.
Matematicamente, se tivermos um polinômio da forma $ax^2+bx+c$, com $a,c>0$, e esse polinômio for um quadrado perfeito, então podemos expressá-lo como $(mx+n)^2$, onde $m$ e $n$ são constantes.
Expandindo $(mx+n)^2$, obtemos $$(mx+n)^2=m^2x^2+2mnx+n^2.$$
Comparando esse polinômio com $ax^2+bx+c$, obtemos $a=m^2, b=2mn$ e $c=n^2$, ou seja, $m=\pm\sqrt{a}$ e $n=\pm\sqrt{c}$.
Com isso, somos capazes de
- identificar se o trinômio é um quadrado perfeito ou não;
- e se for, podemos encontrar sua fatoração.
De fato, ao se deparar com um polinômio da forma $ax^2+bx+c$, onde $a, c>0$, determine $m=\pm \sqrt{a}$ e $n=\pm \sqrt{c}$.
Se $b=2mn$, então o polinômio é um trinômio quadrado perfeito.
Observe que se $b>0$, então $m$ e $n$ devem ter o mesmo sinal e se $b<0$, $m$ e $n$ devem ter sinais opostos.
Após escolher $m$ e $n$, a expressão $(mx+n)^2$ será uma fatoração para $ax^2+bx+c$.
Vejamos um exemplo prático.
Considere o polinômio $9x^2+12x+4$.
Primeiro, vejamos se esse polinômio é um trinômio quadrado perfeito.
Temos $m=\pm\sqrt{9}=\pm 3$ e $n=\pm \sqrt{4}=\pm 2$. Como $b=12>0$, devemos ter $$m=3\quad\mbox{e}\quad n=2$$ ou $$m=-3\quad\mbox{e}\quad n=-2$$
Assim, $b=2\cdot3\cdot2=2\cdot(-3)\cdot(-2)=12$ e, por isso, $9x^2+12x+4$ é um trinômio quadrado perfeito.
Agora, podemos escrever a fatoração desse polinômio. Para isso, basta substituir os valores de $m$ e $n$ em $(mx+n)^2$.
Dessa forma, $$9x^2+12x+4=(3x+2)^2$$ ou $$9x^2+12x+4=(-3x-2)^2.$$
Fatoração por substituição
A fatoração por substituição é uma abordagem criativa.
Podemos realizar substituições inteligentes para transformar um polinômio complexo em uma forma mais simples.
Por exemplo, considere o polinômio $$(x^2-y)(x^2-y+4)+4.$$
Seja $z=x^2-y$. Então $(x^2-y)(x^2-y+4)+4=z(z+4)+4=z^2+4z+4$.
Agora, note que esse polinômio é um trinômio quadrado perfeito e igual a $(z+2)^2$.
Assim, $$(x^2-y)(x^2-y+4)+4=(x^2-y+2)^2.$$
Fatoração por tentativa e erro
Este método é especialmente útil quando lidamos com polinômios de grau menor e não encontramos facilmente padrões de fatoração.
Nesse caso, você pode tentar diferentes combinações de fatores até encontrar a fatoração correta.
Considere o polinômio $2x^2-3x-2$.
Neste caso, você pode tentar fatorar o polinômio como $(2x+a)(x+b)$ e encontrar os valores de $a$ e $b$ que resultam na expansão correta.
$$(2x+a)(x+b)=(2x^2+(2b+a)x+ab).$$
Ao tentar diferentes valores de $a$ e $b$, você pode descobrir que $a=1$ e $b=-2$ funcionam: $$(2x+1)(x-2)=2x^2-3x-2.$$
Dicas e estratégias para uma fatoração eficiente
A fatoração de polinômios pode, por vezes, desafiar até mesmo os estudantes mais experientes.
No entanto, ao adotar algumas dicas e estratégias, torna-se possível abordar esse processo com mais confiança e eficiência.
Aqui estão algumas orientações práticas.
Identifique o fator comum
Antes de explorar métodos mais complexos, verifique se há um fator comum a todos os termos do polinômio.
Extrair esse fator inicial simplifica significativamente o processo de fatoração.
Conheça os casos especiais
Familiarize-se com padrões especiais, como diferença de quadrados, trinômios quadrados perfeitos e a soma/diferença de cubos.
Identificar esses casos facilita a aplicação de métodos específicos, acelerando o processo de fatoração.
Agrupamento estratégico
O método de agrupamento pode ser especialmente útil para polinômios com quatro termos.
Agrupe os termos de maneira estratégica para encontrar fatores comuns e simplificar a expressão.
Prática com vários exemplos
Exponha-se a uma variedade de polinômios ao praticar a fatoração.
Quanto mais exercícios variados você resolver, mais preparado estará para abordar diferentes casos e identificar padrões.
Atenção com os sinais
Ao fatorar polinômios com termos negativos, certifique-se de distribuir corretamente os sinais durante o processo.
Erros na manipulação dos sinais podem levar a soluções incorretas.
Teste suas soluções
Após fatorar um polinômio, verifique suas soluções multiplicando os fatores.
Certifique-se de que o resultado é equivalente ao polinômio original.
Seja paciente e prático
A fatoração pode exigir paciência.
Mantenha uma abordagem prática e sistemática, trabalhando passo a passo para evitar erros e facilitar a compreensão do processo.
Conclusão
A fatoração de polinômios, embora inicialmente possa parecer uma tarefa árdua, revela-se como uma ferramenta poderosa e versátil na matemática.
Ao longo deste artigo, exploramos os fundamentos da fatoração, compreendendo a importância de identificar fatores comuns, reconhecer padrões especiais e aplicar métodos específicos.
Além disso, ao oferecer dicas e estratégias para uma fatoração eficiente, buscamos equipar o leitor com ferramentas práticas para enfrentar desafios com confiança.
A prática consistente, a paciência e a compreensão dos casos especiais são elementos essenciais para aprimorar as habilidades de fatoração.
Ao compreender e dominar essa técnica, os estudantes e profissionais da matemática podem expandir seu conhecimento e aplicar suas habilidades de maneira significativa em diversos contextos.
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