Neste artigo, veremos o que é e como resolver uma equação modular.
Começaremos revisando as propriedades fundamentais do módulo, para então avançarmos para a resolução de equações modulares passo a passo.
Exemplos práticos serão apresentados para ilustrar as técnicas de solução, seguidos de uma análise de casos mais complexos que envolvem múltiplas expressões modulares.
O que é módulo de um número real?
O conceito de módulo, também conhecido como valor absoluto, é fundamental na matemática e tem diversas aplicações práticas.
Entender o módulo de um número real é crucial para resolver equações modulares e para uma série de outras operações matemáticas.
Definição de Módulo
Seja $x$ um número real. O módulo de $x$, denotado $|x|$, é definido por $$|x|=\left{\begin{array}{rr}
x,\quad \mbox{se}\quad x\geq 0\
-x,\quad \mbox{se}\quad x<0
\end{array}\right. .$$
Assim, o módulo de $|\sqrt{5}|=\sqrt{5}$ e $|-2|=-(-2)=2$.
Outras formas de caracterizar o módulo são $$|x|=\max{x,-x},$$ ou seja, o maior dos números $x$ e $-x$, e $$|x|=\sqrt{x^2}$$
Temos a ainda uma outra intepretação para o módulo de um número real.
Considere os números reais como pontos da reta numérica. O módulo de um número real $x$ é a distância de $x$ a 0.
Propriedades do módulo
O módulo possui várias propriedades importantes que são extremamente úteis em diversas operações matemáticas.
Essas propriedades ajudam a simplificar a resolução de problemas e a entender melhor o comportamento dos números.
- Para todo numero real $x$, o módulo de $x$ é sempre um número não negativo. Ou seja, $x\geq 0$.
- O módulo de um número real é zero se e somente se o número for zero. Em outras palavras, $|x|=0$ se, e somente se, $x=0$.
- Para quaisquer números reais $x$ e $y$, o módulo do produto é igual ao produto dos módulos. Isto é, $$|xy|=|x|\cdot |y|.$$
- Desigualdade triangular: Para quaisquer números reais $x$ e $y$, o módulo da soma é menor ou igual à soma dos módulos. Ou seja, $$|x+y|\leq |x|+|y|.$$
- Para qualquer número real $x$, o módulo do seu oposto é igual ao seu módulo. Em outras palavras, $$|-x|=|x|.$$
- Para quaisquer números reais $x$ e $y$, a diferença dos módulos é menor ou igual ao módulo da diferença. Isto é, $$||x|-|y||\leq |x-y|.$$
O que é uma equação modular?
Definição de Equação Modular
Uma equação modular é uma equação que envolve o módulo de uma variável. A forma geral de uma equação modular pode ser escrita como: $$|f(x)|=g(x)$$onde $f(x)$ e $g(x)$ são expressões algébricas. O objetivo é encontrar os valores de $x$ que satisfazem essa igualdade.
Exemplos:
(1) $|x|=4$.
(2) $|x+2|=5$.
(3) $|2x-1|=3$
Como resolver uma equação modular?
Nesta seção, vamos apresentar um passo a passo para resolver equações modulares, acompanhado de exemplos práticos.
Passo a Passo da Resolução
Para resolver uma equação modular $|f(x)|=g(x)$, siga os seguintes passos:
- Identifique os casos: divida a equação em dois casos baseados na definição do módulo:
- Caso 1: $f(x)=g(x)$
- Caso 2: $f(x)=-g(x)$
- Resolva Cada Caso Separadamente: Resolva as equações obtidas em cada caso para encontrar os valores de $x$.
- Verifique as Soluções: Substitua as soluções encontradas na equação original para garantir que são válidas.
Exemplos
Exemplo 1: $|x + 3| = 7$.
Solução. Primeiro, dividimos em dois casos:
- $x+3=7$
- $x+3=-7$
Em seguida, resolvemos cada uma das equações do 1º grau.
Da primeira equação, temos $x=7-3=4$ e da segunda $x=-7-3=-10$.
Substituindo os valores encontrados de $x$ na equação modular, temos $$|4+3|=|7|=7$$ e $$|-10+3|=|-7|=7.$$Logo, as soluções são $x=4$ e $x=-10$.
Exemplo 2: $|2x-1|=3$.
Solução. De $|2x-1|=3$, segue que
- $2x-1=3$ e
- $2x-1=-3$.
Resolvendo cada uma das equações, obtemos $$2x=3+1=4\Rightarrow x=2$$ e $$2x-1=-3\Rightarrow 2x=-3+1=-2\Rightarrow x=-1.$$
Substituindo $x=2$ e $x=−1$ na equação original, verificamos que ambas são soluções válidas.
Portanto, as soluções são $x=2$ e $x=−1$.
Exemplo 3: $$|x-1|+|x+2|=4.$$
Solução. Note primeiro que $$|x-1|=\left{\begin{array}{rr}
x-1,\quad \mbox{se}\quad x\geq 1\
-x+1,\quad \mbox{se}\quad x<1
\end{array}\right.$$ e $$|x+2|=\left{\begin{array}{rr}
x+2,\quad \mbox{se}\quad x\geq -2\
-x-2,\quad \mbox{se}\quad x<-2
\end{array}\right..$$A interseção das condições $x\geq 1$ ou $x<1$ e $x\geq -2$ ou $x<2$ particiona a reta numérica nos intervalos $(-\infty, -2), [-2,1)$ e $[1,+\infty)$.
Para $x\in (-\infty,-2)$, temos $|x-1|=-x+1$ e $|x+2|=-x-2$. Assim, temos $$-2x-1=4\Rightarrow x=-\frac{5}{2}.$$Como $-\dfrac{5}{2}<-2$, $x=-\dfrac{5}{2}$ é solução da equação.
Para $x\in[-2,1)$, temos $|x-1|=-x+1$ e $|x+2|=x+2$. Isso implica, $$-x+1+x+2=4\Rightarrow 3=4,$$ o que é impossível, logo não há solução nesse intervalo.
Para $x\in [1,+\infty)$, temos $|x-1|=x-1$ e $|x+2|=x+2$, Logo, $$x-1+x+2=4\Rightarrow 2x+1=4\Rightarrow x=\frac{3}{2}.$$
Como $\dfrac{3}{2}>1$, $x=\dfrac{3}{2}$ é solução da equação.
Conclusão
Neste artigo, exploramos o conceito de equações modulares, entendendo a definição e as propriedades do módulo, e aprendendo um método sistemático para resolver essas equações.
A capacidade de dividir a equação em casos e considerar todas as possíveis soluções é crucial para resolver problemas que envolvem o módulo.
Agora que você está mais familiarizado com as equações modulares, é hora de colocar seu conhecimento em prática!
Experimente resolver mais equações modulares por conta própria e desafie-se com problemas de níveis variados de dificuldade.
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