Derivadas Parciais | O que são e como calcular

As derivadas parciais abordam o problema da variação de uma função em relação a uma única variável enquanto todas as outras variáveis são mantidas constantes.

Isso se torna de extrema utilidade quando lidamos com fenômenos que dependem de várias grandezas inter-relacionadas.

Neste artigo, veremos o que são derivadas parciais, a interpretação geométrica delas e como calculá-las aplicando as regras de derivação de funções de uma variável

Funções de duas variáveis

Antes de entendermos o que é derivada parcial, vamos falar primeiro de funções de duas variáveis.

Uma função de duas variáveis $f$ é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais $(x,y)$ de um conjunto de $D$, um número real $f(x,y)$

Por exemplo, se $x$ e $y$ são o comprimento e a largura de um retângulo, a área desse retângulo é dada por $$A=A(x,y)=xy.$$
Ou seja, $A$ é uma função de duas variáveis.

O conjunto $D$ é chamado de domínio e o conjunto $\text{Im}(f):=\{f(x,y)\in \mathbb{R};(x,y)\in D\}$ é chamada de imagem de $f$.

Escrevendo $z=f(x,y)$, as variáveis $x,y$ são chamadas de variáveis independentes e $z$ de variável dependente.

Quando não explicitado, o domínio de uma função é o maior conjunto para o qual a regra de definição gera números reais.

O que é derivada parcial?

Sejam $f:D\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ uma função e $(x_0,y_0)\in D$. Fixe $y_0$ e considere a função $g$ de uma variável dada por $$g(x)=f(x,y_0).$$

A derivada de $g$ em $x_0$ (caso exista) é chamada de derivada parcial de $f$ em relação a $x$ no ponto $(x_0,y_0)$.

As notações mais utilizadas para derivada parcial em relação a $x$ são $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),f_x(x_0,y_0).$$

Dessa forma, ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0)=g^{\prime }(x_0)$. Pela definição de derivada $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=g^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0},$$ ou seja, $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0},$$

ou ainda,

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.$$
Seja $$A=\{(x,y)\in D;f_x(x,y)\text{existe}\}.$$

Assim, temos uma nova função, indicada por ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$ ou por $f_x$ e definida em $A$, que a cada $(x,y)\in A$ associa o número ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y),$ onde $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.$$

Essa função é chamada de função derivada parcial de 1ª ordem de $f$, em relação a $x$, ou derivada parcial de $f$ em relação a $x$.

Da mesma forma, definimos a derivada parcial de $f$ em relação a $y$, no ponto $(x_0,y_0)$ que se indica por ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}$: $$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\underset{y\to y_0}{lim}\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0},$$ ou $$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}.$$
Em outras palavras, $f_x(x,y)$ é a derivada em relação a $x$, de $f(x,y)$, mantendo-se $y$ constante.

Por outro lado, $f_y(x,y)$ é a derivada de $f(x,y)$ em relação a $y$, mantendo-se $x$ constante.

Exemplo 1: Se $f(x,y)=2x^3{y}^5+y\text{sen}x$, determine $f_x(1,0)$ e $f_y(1,0)$.

Solução: Mantendo $y$ constante e derivando em relação a $x$, obtemos $f_x(x,y)=6x^2{y}^5+y\cos x$ e assim $$f_x(1,0)=6\cdot 1^2\cdot 0^5+0\cdot \cos 1=0.$$
Mantendo $x$ constante e derivando em relação a $y$ obtemos $f_y(x,y)=10x^3{y}^4+\text{sen}x$ e assim $f_y(1,0)=\text{sen}1$.

Exemplo 2: Se $f(x,y)=\ln (x^2+y^2+1)$, calcule $f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$.

Solução: Usando a regra da cadeia para funções de uma variável, temos $$f_x(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}\cdot \frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2+1)=\frac{2x}{x^2+y^2+1}$$ e $$f_y(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}\cdot \frac{\partial }{\partial y}(x^2+y^2+1)=\frac{2y}{x^2+y^2+1}.$$

Interpretação geométrica das derivadas parciais

As derivadas parciais em um ponto $P=(x_0,y_0)$ são inclinações das retas tangentes no ponto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ das curvas obtidas pelas interseções dos planos $y=y_0$ e $x=x_0$ com o gráfico de $f$ como mostra a figura abaixo.

Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis

Derivadas parciais são definidas para funções de qualquer número de variáveis.

De fato, seja $f:U\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ uma função de $n$ variáveis $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

A derivada parcial de $f$ em relação a variável $x_i$ é $$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_1,\dots ,x_i+h,\dots ,x_n)-f(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)}{h}.$$Na prática, calculamos a derivada (de uma variável) em relação a $x_i$ tratando as outras variáveis como constantes.

Exemplo 3: Seja $f(x,y,z,w)={\displaystyle \frac{e^{x^{2}z-y^4}}{z+w^3}}$. Calcule $f_z(0,0,1,0)$.

Solução: Use as regras do quociente e da cadeia, tratando $x,y$ e $w$ como constantes $$f_z(x,y,z,w)=\frac{x^2(z+w^3)e^{x^{2}z-y^4}-e^{x^{2}z-y^4}}{(z+w^3)}.$$
Daí, $$f_z(0,0,1,0)=\frac{1-1}{1}=0.$$

Derivadas Parciais de Ordem Superior

As derivadas parciais de ordem superior são derivadas de derivadas.

As derivadas de segunda ordem de $f$ são

$$(f_x{)}_x=f_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$$

$$(f_x{)}_y=f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$$

$$(f_y{)}_x=f_{yx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$$

$$(f_y{)}_y=f_{yy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}.$$

Exemplo 4: Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem $$f(x,y)=x^3+y^2{e}^x.$$
Solução: Primeiro, calculamos as derivadas de 1ª ordem: $$f_x(x,y)=3x^2+y^2{e}^x$$ e $$f_y(x,y)=2y{e}^x.$$
Em seguida, calculamos as derivadas de 2ª ordem:

$$f_{xx}(x,y)=6x+y^2{e}^x\text{e}{f}_{xy}(x,y)=2y{e}^x$$ $$f_{yx}(x,y)=2y{e}^x\text{e}{f}_{yy}(x,y)=2e^x.$$
Note que no exemplo anterior temos $f_{xy}=f_{yx}$. Veremos a seguir em quais condições isso sempre acontece.

Teorema de Clairaut: Suponha que $f$ seja definida em um conjunto aberto $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$. Se $f_{xy}$ e $f_{yx}$ são contínuas em $U$, então $$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$$ para todo $(x,y)\in U$.

Exemplo 5: Calcule ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}$, onde $$f(x,y)=xy+\frac{e^y}{y^2+1}.$$
Solução: O símbolo ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}$ nos diz que derivamos primeiro com respeito a $y$ e em seguida em relação a $x$.

No entanto, se invertemos a ordem de derivação chegamos a resposta mais rapidamente.

Temos $$\frac{\partial f}{\partial x}=y\text{e}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=1.$$