Você sabe o que são os critérios de divisibilidade?
Imagine poder determinar rapidamente se um número é divisível por outro, sem a necessidade de fazer longas divisões ou cálculos complicados.
Os critérios de divisibilidade oferecem exatamente isso: um conjunto de regras simples que permitem identificar se um número é divisível por outro apenas observando suas propriedades.
Neste artigo, vamos apresentar e demonstrar os critérios de divisibilidades mais conhecidos.
O que são critérios de divisibilidade?
Os critérios de divisibilidade são um conjunto de regras que nos permitem determinar se um número é divisível por outro sem a necessidade de realizar a divisão propriamente dita.
Em outras palavras, são como atalhos matemáticos que nos ajudam a identificar padrões nos números que indicam se eles são divisíveis por determinados divisores.
Para entender melhor, primeiro precisamos revisar o conceito de divisibilidade.
Um número $a$ é divisível por um número $b$ se, ao dividirmos $a$ por $b$, não houver resto, ou seja, a divisão é exata.
Por exemplo, $12$ é divisível por $3$ porque $12÷3=4$ sem resto. Da mesma forma, $15$ é divisível por $5$ porque $15÷5=3$ sem resto.
Os critérios de divisibilidade nos fornecem condições específicas que um número deve satisfazer para ser divisível por outro número.
Esses critérios são extremamente úteis em uma variedade de situações, desde simplificar frações até fatorar números grandes.
Eles nos permitem economizar tempo e esforço, tornando a manipulação de números mais eficiente e acessível mesmo para quem não é especialista em matemática avançada.
Critério de divisibilidade por 2
Teorema 1: Um número é divisível por $2$ se, e somente se, o seu último algarismo for par, ou seja, $0, 2, 4, 6$ ou $8$.
Demonstração: Seja $n$ um número divisível por $2$, ou seja, $n=2k$ para algum $k\in\mathbb{N}$. Podemos escrever $$k=10\cdot k’+a_0,$$onde $a_0\in\{0,1,2,\ldots,9\}$.
Com isso, $$n=2k=20k’+2a_0.$$
Agora, $$\left\{\begin{array}{l}
2a_0\in \{0,2,4,6,8\},\;\mbox{se}\; a_0\in\{0,1,2,3,4\}\\
2a_0=10+a_0′,\;\mbox{com}\;a_0’\in\{0,2,4,6,8\},\;\mbox{se}\;a_0\in\{5,6,7,8,9\}\end{array} \right.$$
Em ambos os casos, temos que o algarismo das unidades de $n$ é $0,2,4,6$ ou $8$.
Reciprocamente, suponha que $n$ seja um número par. Escrevendo $$n=10\cdot n’+n_0, \;\mbox{com}\; n’\in\mathbb{N}\;\mbox{e}\; n_0\in\{0,2,4,6,8\},$$temos, $$n=2\cdot 5\cdot n’+2\cdot n_1=2(5n’+n_1),$$onde $n_1\in\{0,1,2,3,4\}$. Portanto, $n$ é um múltiplo de $2$.
Por exemplo, os número $1234$ e $23210$ são divisíveis por $2$, enquanto $122673$ não é.
Critérios de divisibilidade por 3 e por 9
Teorema 2: Um número é divisível por $3$ (resp. por $9$) se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por $3$ (resp. por $9$).
Demonstração. Primeiramente, escrevamos um número natural $n$ na forma decimal, ou seja, $$n=n_r\ldots n_2n_1n_0=n_r\cdot 10^r+\cdots+n_2\cdot 10^2+n_1\cdot 10+n_0.$$Em segundo lugar, note que para cada $i=1,2,\ldots, r$, temos $$10^i-1=\underbrace{99\ldots9}_{i \;{\rm algarismos}},$$que é divisível tanto por $3$ quanto por $9$.
Com esses dois fatos, temos $$\begin{aligned}
n &=n_r(10^r-1+1)+\cdots+n_2(10^2-1+1)+n_1(10-1+1)+n_0\\
&=\underbrace{n_r(10^r-1)+\cdots+n_2(10^2-1)+n_1(10-1)}_{m}+n_r+\cdots+n_2+n_1+n_0\\
&=m+n_r+\cdots+n_2+n_1+n_0
\end{aligned}$$
Agora, se $n$ é divisível por $3$ ou por $9$, então $$n_r+\cdots+n_2+n_1+n_0=n-m$$é divisível por $3$ ou por $9$, respectivamente.
Por outro lado, se $n_r+\cdots+n_2+n_1+n_0$ é divisível por $3$ ou por $9$, então $$n=m+n_r+\cdots+n_2+n_1+n_0$$é divisível por $3$ ou $9$, respectivamente.
Exemplo: Considere o número $1101$. Para saber se $1101$ é divisível por $3$, somamos os seus algarismos para ver se o resultado é múltiplo de $3$.
Temos $$1+1+0+1=3,$$ que é divisível por $3$.
Critérios de divisibilidade por 4 e por 25
Teorema 3: Um número natural com mais de dois algarismos é divisível por $4$ (resp. por $25$), se e somente se, o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por $4$ (resp. por $25$).
Demonstração. Seja $n$ um número natural com mais de dois algarismos, digamos $n=n_r\ldots n_2n_1n_0$.
Temos $$n=n_r\ldots n_2\cdot 100+n_1n_0.$$Daí e de $100=4\cdot 25$, concluímos que $n$ é divisível por $4$ ou por $25$ se, e somente se, $n_1n_0$ é divisível por $4$ ou por $25$, respectivamente.
Por exemplo, o número $23564$ é divisível por $4$, pois $64$ também o é com $64=4\cdot 16$.
Já o número $12375$ é divisível por $25$, pois $75$ também o é.
Critérios de divisibilidade por 5 e por 10
Teorema 4: Um número é divisível por $5$ se, e somente se, o seu algarismo das unidades é $0$ ou $5$. E é divisível por $10$ se, e somente se, o seu algarismo das unidades é $0$.
Demonstração. Seja $n=n_r\ldots n_2n_1n_0$ um número natural. Temos $$n=n_r\ldots n_2n_1\cdot 10+n_0.$$Como $10$ é divisível por $5$, concluímos que $n$ é divisível por $5$ se, e somente se, $n_0$ é divisível por $5$, ou seja, $n_0=0$ ou $5$.
Temos ainda que $10$ é divisível por $10$, o que implica que $n$ é divisível por $10$ se, e somente se, $n_0$ é divisível por $10$, ou seja, $n_0=0$.
Por exemplo, os números $2395, 4870$ e $98805$ são divisíveis por $5$. Já os números $120, 2350$ e $12000$ são divisíveis por $10$.
Critério de divisibilidade por 6
Teorema 5: Um número é divisível por $6$ se, e somente se, ele for divisível por $2$ e por $3$ simultaneamente.
Demonstração. Se $n\in\mathbb{N}$ é divisível por $6$, então existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $$n=6k=2(3k)=3(2k),$$ ou seja, $n$ é divisível por $2$ e por $3$.
Reciprocamente, $n$ é divisível por $2$ e por $3$, simultaneamente, então existem $k_1$ e $k_2$ tais que $n=2k_1=3k_2$. Daí, temos, $$k_2=3k_2-2k_2=2k_1-2k_2=2(k_1-k_2),$$ isto é, $k_2$ é divisível por $2$. Por isso, $k_2=2k_3$, para algum $k_3\in\mathbb{N}$.
Logo, $n=3k_2=6k_3$ e, assim, $n$ é divisível por $6$.
Exemplo: O número $2574$ é divisível por $6$. De fato, como $2574$ é número par, ele é divisível por $2$.
Além disso, temos $2+5+7+4=18$ que é divisível por $3$ e, por isso, pelo critério de divisibilidade por $3$ nos diz que $2574$ é divisível por $3$.
Portanto, $2574$ é divisível por $6$.
Critério de divisibilidade por 7
Teorema 6: O número $n=n_r\ldots n_1n_0$ é divisível por $7$ se, e somente se, o número $n_r\ldots n_1-2n_0$ é divisível por $7$.
Demonstração. Temos $$\begin{aligned}
n&=10\cdot n_r\ldots n_1+n_0 \\&=10\cdot(n_r\ldots n_1-2n_0+2n_0)+n_0\\
&=10(n_r\ldots n_1-2n_0)+21n_0.
\end{aligned}$$
Daí, como $21$ é divisível por $7$ e $10$ não é, concluímos que $n$ é divisível por $7$ se, e somente se, $n_r\ldots n_1-2n_0$ é divisível por $7$.
Exemplo: $1652$ é divisível por $7$.
De fato, temos $$165-2\cdot 2=165-4=161$$ e $$16-2\cdot 1=14$$ que é divisível por $7$. Assim, pelo Teorema 6, $161$ é divisível por $7$, o que implica que $1652$ é divisível por $7$, usando o Teorema 6 mais uma vez.
Critérios de divisibilidade por 8 e por 125
Teorema 7: Um número natural com mais de três algarismos é divisível por $8$ (resp. por $125$) se , e somente se, o número formado por seus três últimos algarismos for divisível por $8$ (resp. por $125$).
Demonstração. Seja $n=n_r\ldots n_2n_1n_0\in \mathbb{N}, r\geq 3$. Temos $$n=n_r\ldots n_3\cdot 1000+n_2n_1n_0.$$
Como $1000=8\cdot 125$, segue que $n$ é divisível por $8$ ou por $125$ se, e somente se, $n_2n_1n_0$ é divisível por $8$ ou por $125$.
Exemplo: O número $12168$ é divisível por $8$, pois $168$ é divisível por $8$ e o número $201 375$ é divisível por $125$, pois $375$ é divisível por $125$.
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