Para calcular a integral de $\sec^3x$ você precisa saber:
- a fórmula da integração por partes \[\int u\;dv=uv-\int vdu.\]
- a identidade trigonométrica \[1+\tan^2x=\sec^2x.\]
- a derivada da função $\sec x$.
- uma primitiva da função $\sec^2x$.
- integrar $\sec x$.
Agora que você já sabe o que é preciso, pegue papel e caneta e me acompanhe nas contas.
Vamos começar calculando a integral de $\sec x$.
Calculando $\displaystyle\int \sec x\;dx$
Temos \[\int \sec x\;dx=\int \sec x\left(\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}\right)\;dx=\int \left(\frac{\sec^2x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\right)\;dx.\]
Observe que o numerador do integrando é a derivada da função no denominador, logo, \[\int \left(\frac{\sec^2x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\right)\;dx=\ln|\sec x+\tan x|+C.\]
Agora, estamos prontos para calcular a integral de $\sec^3x$.
Calculando $\displaystyle\int \sec^3x\;dx$
Primeiramente, escreva $\sec^3x=\sec x\cdot \sec^2x$.
Com isso, faça $u=\sec x$ e $dv=\sec^2x$, o que implica que $du=\sec x\tan x\;dx$ e $v=\tan x$.
Agora, use a formula de integração por partes mencionada na introdução e obtenha \[\int\sec^3x\;dx=\sec x\tan x-\int \sec x\tan^2 x\;dx.\] Pela identidade $1+\tan^2x=\sec^2x$, temos \[\int\sec^3x\;dx=\sec x \tan x-\int\sec x (\sec^2x-1)\;dx\] \[\int\sec^3x\;dx=\sec x \tan x-\int\sec^3x\;dx+\int\sec x\;dx.\] Daí, segue que \[2\int\sec^3x\;dx=\sec x \tan x+\ln|\sec x+\tan x|\] e, portanto, \[\int\sec^3x\;dx=\frac{1}{2}\sec x \tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C.\]
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