Álgebra Linear – 01- Um subespaço de $\mathcal{F}((-4,4);\mathbb{R})$

Problema 01

Seja $\mathcal{F}((-4,4);\mathbb{R})$ o espaço vetorial das funções de $(-4,4)$ em $\mathbb{R}$.
Considere o conjunto
$$\mathbb{W}=\{\,f:(-4,4)\to\mathbb{R}\mid f \text{ é diferenciável e } f'(-1)=3f(2)\}.$$
Mostre que $\mathbb{W}$ é um subespaço vetorial de $\mathcal{F}((-4,4);\mathbb{R})$.

Solução

Primeiramente, vamos verificar que $\mathbb{W}$ não é vazio.

De fato, a função $f\equiv 0$ pertence a $\mathbb{W}$, pois $$f'(-1)=0=3\cdot 0=3f(2).$$

Agora, sejam $f,g\in\mathbb{W}$. Queremos mostrar que $f+g\in\mathbb{W}$.
Pela linearidade da derivada, temos $$(f+g)'(-1)=f'(-1)+g'(-1)=3f(2)+3g(2)=3(f+g)(2),$$
o que implica que $f+g\in\mathbb{W}$.

Por fim, sejam $f\in\mathbb{W}$ e $\lambda\in\mathbb{R}$. Novamente, pela linearidade da derivada,
$$(\lambda f)'(-1)=\lambda f'(-1)=\lambda\cdot 3f(2)=3(\lambda f)(2).$$

Portanto, $\mathbb{W}$ contém a função nula e é fechado por soma e multiplicação por escalar. Concluímos que $\mathbb{W}$ é um subespaço vetorial de $\mathcal{F}((-4,4);\mathbb{R})$.