As equações são uma parte essencial da álgebra, e seu entendimento é crucial para resolver uma variedade de problemas matemáticos e até mesmo para aplicá-las em situações do mundo real.
Uma equação do 1º grau, também conhecida como equação linear, é uma expressão matemática que contém uma variável, como $x$, e pode ser resolvida para encontrar o valor dessa variável que a torna verdadeira.
Elas têm a forma geral de $ax + b = c$, onde $a$, $b$ e $c$ são números conhecidos e $x$ é a variável desconhecida que estamos tentando encontrar.
Este artigo visa fornecer uma compreensão sólida sobre como resolver equações do 1º grau, começando pelos conceitos básicos e avançando para situações mais complexas.
Por isso, convido você a continuar lendo esse guia, pois à medida que exploramos os passos necessários para resolver essas equações, você ganhará confiança em suas habilidades matemáticas e estará preparado para aplicá-las em várias situações.
O que é uma equação do 1º grau
Uma equação do 1º grau é uma equação na qual a maior potência da variável é 1.
Uma forma geral de uma equação do 1º grau é \[ax+b=c,\]
onde $a, b$ e $c$ são constantes.
É importante notar a diferença entre equações e expressões algébricas. Enquanto as equações têm igualdades (por exemplo, $3x+2=8$), as expressões algébricas são apenas combinações de números, variáveis e operações matemáticas (por exemplo, $3x+2$).
Entender esses conceitos básicos é o primeiro passo para se tornar proficiente na resolução de equações do 1º grau. Agora que temos uma compreensão sólida dos fundamentos, podemos prosseguir para os passos práticos para resolver equações lineares
Como resolver uma equação do 1º grau
Veja a seguir o que fazer para resolver uma equação do 1º grau.
Passo 1: Separe os termos.
Ou seja, coloque os termos que envolvem a variável em um lado da equação e os termos constantes do outro.
Isso é feito realizando operações básicas como a adição, subtração, multiplicação ou divisão em ambos os lados da equação, sempre mantendo o equilíbrio.
Passo 2: Faça simplificações.
Nessa etapa, você irá reduzir o número de termos em ambos os lados da equações efetuando as operações mencionadas acima.
Passo 3: Encontre o valor de $x$.
Após as simplificações, isole a variável de $x$ e obtenha a solução da equação.
Primeiro exemplo
Exemplo 1: Resolva
\[4x + 3 = 15.\]
Solução:
Passo 1: Nosso objetivo aqui é fazer a separação de termos. Começamos subtraindo 3 de ambos os lados da equação para eliminar o termo constante no lado esquerdo:
\[4x+3-3=15-3\]
Passo 2: Agora devemos simplificar a equação, fazendo os cálculos mostrados na última igualdade:
\[4x = 12.\]
Passo 3: Agora, temos a variável $x$ multiplicada por 4. Para isolar $x$, precisamos dividir ambos os lados por 4:
\[\frac{4x}{4}=\frac{12}{4}\]
O que nos resulta em:
\[x = 3.\]
É importante observar que as operações que realizamos em um lado da equação devem ser aplicadas igualmente ao outro lado, garantindo que a equação permaneça equilibrada.
Equações envolvendo parênteses
Quando você se deparar com uma equação que possui parênteses, a primeira etapa é eliminar esses parênteses.
Isso é feito distribuindo o valor fora dos parênteses em todos os termos dentro dos parênteses.
Exemplo 2: Resolva a equação \[2(x+3)=12-(x-1).\]
Solução: Primeiramente, devemos eliminar os parênteses:
\[2\cdot x+2\cdot 3=12-x+1\Longrightarrow 2x+6=-x+13.\]
A partir daqui, seguimos o passo a passo explicado acima.
Colocando os termos com variável em um lado da equação e os termos constantes do outro, chegamos a \[2x+x=13-6.\]
Simplicando, a equação se reduz a \[3x=7.\]
Por fim, para isolar a variável $x$, dividimos ambos os membros por 3: \[x=\frac{7}{3}.\]
Equações envolvendo frações
O primeiro passo para resolver esse tipo de equação é eliminar as frações da equação multiplicando todos os termos da equação pelo mínimo múltiplo comum de todas as frações envolvidas.
Para entender melhor, veja o exemplo a seguir.
Exemplo 3: Resolva a equação \[\frac{3x}{5}-\frac{x}{10}+2=3-\frac{2x}{15}.\]
Solução: Vamos multiplicar todos os termos pelo mínimo múltiplo comum de 5, 10 e 15, que é 30:
\[30\cdot \frac{3x}{5}-30\cdot\frac{x}{10}+30\cdot 2=30\cdot 3-30\cdot\frac{2x}{15}.\] Simplificando, obtemos: \[18x-3x+60=90-4x.\]
Agora, seguimos o passo a passo inicial:
Separamos os termos com variável de um lado e os termos constantes do outro:
\[18x-3x+4x=90-60.\]
Em seguida, simplificamos para obter \[19x=30.\]
Daí, segue que $x=\dfrac{30}{19}$.
Verificação da solução
Após ter realizado os passos necessários para isolar a variável e encontrar uma possível solução para a equação do 1º grau, é essencial verificar se essa solução é de fato correta.
A verificação é uma etapa crucial em qualquer resolução de equações, pois garante a precisão e a validade do resultado.
A seguir, exploraremos a importância da verificação e como realizá-la de forma eficaz.
Por que verificar?
A verificação é fundamental por várias razões:
- Prevenção de Erros: Mesmo que você tenha seguido todos os passos corretamente, erros podem ocorrer durante o processo de resolução. A verificação ajuda a identificar e corrigir esses erros.
- Confirmação da Solução: Apenas encontrar uma resposta não garante que ela seja a solução correta. A verificação assegura que a resposta realmente satisfaz a equação original.
- Aprendizado: A verificação ajuda a solidificar a compreensão do processo de resolução e a identificar áreas em que você pode precisar melhorar.
Como verificar a solução?
Para verificar a solução de uma equação do 1º grau, siga os seguintes passos:
Passo 1: Substitua a solução encontrada na equação original.
Por exemplo, se a equação era $4x + 3 = 15$ e você encontrou que $x = 3$, substitua $x$ por 3 na equação: \[4\cdot 3 + 3 = 15.\]
Passo 2: Realize as operações matemáticas na equação usando a solução substituída. No exemplo acima, teríamos $12 + 3 = 15$.
Passo 3: Verifique se a equação resultante é verdadeira. No caso do exemplo, $12 + 3$ de fato é igual a 15, assim, \[15=15.\] o que significa que a solução $x = 3$ é válida.
O que fazer se a equação não for satisfeita?
Se a equação não for satisfeita após a verificação, significa que há um erro em algum lugar do processo de resolução.
Nesse caso, você deve revisar cuidadosamente cada passo para encontrar o erro.
Isso pode envolver a identificação de um erro de cálculo ou uma falha no isolamento da variável.
Conclusão
Ao longo deste artigo, exploramos os fundamentos das equações do 1º grau, desde os conceitos mais básicos até casos um pouco mais complexos.
Agora, é importante recapitular o passo a passo para resolver uma equação do 1º grau:
- Separe os termos
- Faça simplificações
- Isole a variável
- Verifique a solução.
Lembre-se de que a prática é essencial para aperfeiçoar suas habilidades matemáticas.
Resolva uma variedade de equações, fazendo exercícios e problemas adicionais e, sempre que possível, aplique esses conceitos no mundo real.
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