Duas das constantes mais famosas da Matemática são: o número de Euler \[e=2,71828\ldots\]e o número \[\pi=3, 14159\ldots .\]
Há vários fatos interessantes e também alguns mistérios envolvendo essas duas constantes.
Dentre esses fatos, existem alguns relacionados às constantes $e^{\pi}$ e $\pi^e$.
Por exemplo, sabe-se que o número $e^{\pi}$ é transcendente, mas não sabemos se o número $\pi^e$ é transcendente ou não.
Mas o que propomos a fazer aqui nesse artigo é mostrar qual desses números é o maior.
Você saberia dizer qual é?
Para responder essa pergunta, usaremos ferramentas do Cálculo Diferencial.
A função $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
Note que descobrir quem é maior entre \[\pi^e\quad\mbox{e}\quad e^{\pi}\] é equivalente a descobrir quem é maior entre $$e\ln\pi\quad\mbox{e}\quad\pi,$$ uma vez que a função $y=\ln x$ é crescente. E descobrir qual desses dois últimos números é o maior é equivalente a descobrir quem é maior entre \[\frac{\ln\pi}{\pi}\quad\mbox{e}\quad\frac{1}{e}=\frac{\ln e}{e},\] pois $e$ e $\pi$ são números positivos.
Por isso, vamos considerar a função $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ definida no intervalo $(0,+\infty)$.
Agora, vamos determinar os pontos críticos dessa função.
Para fazer isso, calculamos a derivada de $f$.
Temos \[f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.\]
Agora, lembre que um ponto crítico de $f$ é um ponto do domínio da $f$ onde $f’$ se anula ou não existe.
Como $f’$ está definida em $(0, +\infty)$, segue que os pontos críticos de $f$ serão os zeros de $f’$.
Assim, temos \[f'(x)=0\Leftrightarrow 1-\ln x=0\Leftrightarrow x=e,\]
logo, $x=e$ é o único ponto crítico de $f$.
O sinal de $f'(x)$
Temos que $f'(x)>0$, se e somente se, $\ln x<1$, ou seja, se e somente se $x<e$.
Similarmente, temos que $f'(x)<0$, se e somente se, $x>e$.
Com isso, a função $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ é crescente no intervalo $(0,e)$ e é decrescente em $(e,+\infty)$. Assim, pelo Teste da Primeira Derivada, $x=e$ é um ponto de máximo (global) de $f$.
Respondendo à questão
Como $x=e$ é um ponto de máximo global de $f$, temos, em particular, que $f(e)>f(\pi)$, ou seja,
\begin{eqnarray*}\frac{\ln e}{e}> \frac{\ln \pi}{\pi}&\Leftrightarrow&\frac{1}{e}>\frac{\ln \pi}{\pi}\\ &\Leftrightarrow& \pi>e\ln \pi=\ln (\pi^e)\\ &\Leftrightarrow& e^{\pi}>\pi^e. \end{eqnarray*}
Portanto, $e^{\pi}$ é maior do que $\pi^e$.
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