Progressão geométrica: Você sabe qual o próximo da sequência $$(3, 6, 12, 24, 48,\ldots)?$$
Se você respondeu 96, acertou.
Isso porque é possível achar um padrão nessa sequência. Você sabe dizer que padrão é esse?
Exatamente!
A partir do segundo, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 2.
Esse tipo de sequência recebe um nome especial, é abordado no Ensino Médio e frequentemente cobrado nos exames de vestibulares e do Enem.
Como veremos mais tarde, essa sequência possui um termo geral. É também de grande interesse saber como calcular a soma dos termos de sequência desses tipos.
Se você está interessado em saber mais sobre isso, continue lendo esse artigo
pois eu vou te mostrar o que é uma progressão geométrica, como obter a fórmula geral e como a calcular a soma dos termos dessa sequência.
Mas antes disso, eu preciso te falar por que você deve estudar progressão geométrica.
Por que estudar Progressão Geométrica?
Como falei anteriormente, esse é um assunto visto no ensino médio, por isso, você terá que estudar esse assunto pelo menos uma vez na vida.
Mas se você se pensando em fazer um curso superior ou passar em algum concurso público você não pode deixar de fora esse assunto.
Progressão geométrica é um dos assuntos que costuma cair em vestibulares e no próprio Exame Nacional do Ensino Médio (Enem).
Para confirmar o que estou dizendo, veja essa questão que caiu na Fuvest.
Fuvest 2015. Prova V. Questão 52.
Dadas as sequências $a_n=n^2+4n+4, b_n=2^{n^2}, c_n=a_{n+1}-a_n$ e $d_n=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$, definidas para valores inteiros positivos de ݊$n$, considere as seguintes afirmações:
I. ܽ$a_n$ é uma progressão geométrica;
II. ܾ $b_n$ é uma progressão geométrica;
III. ܿ$c_n$ é uma progressão aritmética;
IV. ݀ $d_n$ é uma progressão geométrica.
São verdadeiras apenas
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) I e III.
d) II e IV.
e) III e IV.
Não irei fazer a resolução agora. Mas não se preocupe, pois ao terminar de ler esse artigo você será capaz de resolver questões como essa.
Em concursos públicos também são encontradas questões sobre progressões geométricas.
Veja por exemplo a seguinte questão que caiu no concurso da prefeitura de Ipumirim-SC.
AMAUC – 2018 – Prefeitura de Ipumirim – SC – Médico
Em uma Progressão Geométrica o terceiro termo é 36 e a razão é igual a $\dfrac{2}{3}$. O primeiro termo dessa sequência é:
a) 9
b) 16
c) 81
d) 24
e) 54
Uma outra razão para você estudar progressão geométrica é que você ganhará base para estudar outros assuntos como aumentos percentuais sucessivos e matemática financeira.
O que quero dizer com isso é que você ser´capaz de entender e resolver questões como
” A população de um país é hoje igual a $P_0$ e cresce $2\%$ ao ano. Qual será a população desse país daqui a $n$ anos?”
ou ainda
“Mostre que no regime de juros compostos de taxa $i$, um capital inicial $C_0$ transforma-se, depois de $n$ períodos de tempo, em um montante $C_n=C_0(1+i)^n$.
Cada um desses problemas pode ser resolvido usando progressão geométrica.
Por isso, você precisa estar afiado como uma lâmina!
Agora que você já sabe porque precisa estudar progressão geométrica, vamos nos aprofundar no estudo desse tipo de sequência.
O que é uma progressão geométrica?
Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência numérica na qual o quociente da divisão de cada termo pelo termo anterior é constante.
Esse quociente é chamado de razão da progressão e é representado pela letra $q$.
Veja alguns exemplos de progressão geométrica a seguir.
Exemplo 1: A sequência $$(1, 3, 9, 27, 81,\ldots)$$ é uma progressão geométrica de razão 3.
Exemplo 2: A sequência $$(64, 32, 16, 8, 4,\ldots)$$ é uma progressão geométrica de razão $\dfrac{1}{2}$.
Classificação das progressões geométricas
Podemos classificar as progressões geométricas quanto ao número e crescimento de termos. Veja como é essa classificação a seguir
Quanto ao número de termos
Uma progressão geométrica pode ser
- finita: quando a sequência contém um número finito de termos. Por exemplo, a sequência $(5, 10, 20, 40, 80)$ é uma progressão geométrica finita de razão 2.
- infinita: quando a sequência possui uma quantidade infinita de termos, como por exemplo, a progressão geométrica $$(3,12,48,\ldots)$$ é infinita de razão 4.
Quanto ao crescimento dos termos
Quanto ao crescimento de termos podemos classificar as progressões geométricas em 4 tipos.
Constante
Uma progressão geométrica é constante se todos os seus termos são todos iguais.
Nesse caso, a razão é sempre igual a 1.
Um exemplo de progressão de progressão geométrica constante é a sequência $$(3,3,3,3,\ldots).$$
Crescente
Uma progressão geométrica é crescente quando
- a razão $q$ é maior do que 1 e seu primeiro termo $a_1$ é maior do que zero; ou quando
- a razão $q$ está entre 0 e 1 e o seu primeiro termo $a_1$ é menor do que zero.
Vamos ver alguns exemplos.
Exemplo 1: A sequência $(1,4,16,64,\ldots)$ é uma progressão geométrica crescente com razão $q=4$ e primeiro termo $a_1=1.$
Exemplo 2: A sequência $(-9,-3,-1,-\dfrac{1}{3},\ldots)$ também é uma progressão geométrica crescente de razão $q=\dfrac{1}{3}$ e primeiro termo $a_1=-9$.
Decrescente
Uma progressão geométrica é decrescente quando
- a razão $q$ é maior do que 1 e o primeiro termo $a_1$ é menor do que zero.
- a razão $q$ está entre 0 e 1 e o primeiro termo $a_1$ é maior do que zero.
Exemplo 1: A sequência $(-2,-6,-18,\ldots)$ é uma progressão geométrica decrescente de razão $q=3$ e primeiro termo $a_1=-2$.
Exemplo 2: A sequência $(18, 6, 2,\dfrac{2}{3},\ldots)$ é uma progressão geométrica decrescente de razão $q=\dfrac{1}{3}$ e primeiro termo $a_1=18$.
Oscilante
Uma progressão geométrica é oscilante quando a razão $q$ é menor do que zero. Nesse caso, os termos se alternam entre positivos e negativos.
Exemplo 1: A sequência $(1,-2,4,-8,16,\ldots)$ é uma progressão geométrica oscilante pois a razão é $q=-2$.
Exemplo2: A sequência $(-\dfrac{1}{3}, 1, -3,\ldots)$ também é uma progressão geométrica oscilante, já que a razão é $q=-3$.
Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica
Numa progressão geométrica $(a_1,a_2,a_3,\ldots)$, para avançar um termo, basta multiplicar pela razão; para avançar dois termos , basta multiplicar duas vezes pela razão, e assim por diante.
Por exemplo, $a_{10}=a_3q^7$, pois avançamos 7 termos ao passar de $a_3$ para $a_{10}$.
Com isso, temos que
$a_2=a_1q$
$a_3=a_2q=a_1q^2$
$a_4=a_3q=a_1q^3$
$\vdots$
$a_n=a_1q^{n-1}$.
A fórmula $$a_n=a_1q^{n-1}$$ é chamado de fórmula do termo geral da progressão geométrica $(a_1,a_2,a_3,\ldots)$.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: Em uma progressão geométrica de razão 2, o primeiro termo vale 3. Quanto vale o quinto termo dessa progressão?
Solução: Como o primeiro termo é 3 e a razão é 2, o quinto termo é $$a_5=3\cdot2^{4}=48.$$
O quinto termo vale 48.
Exemplo 2: Em uma progressão geométrica, o quinto termo vale 5 e o oitavo termo vale 135. Quanto vale o sétimo termo dessa progressão?
Solução: Sabemos que $a_8=a_5q^3$. Como $a_8=135$ e $a_5=5$, $$135=5q^3\Rightarrow q^3=27\Rightarrow q=3.$$
De $a_8=a_7q$, segue $$a_7=\dfrac{135}{3}=45.$$
Portanto, o sétimo termo vale 45.
Fórmula da soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica
A soma dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica $(a_1, a_2,a_3,\ldots)$ de razão $q\neq 1$, é $$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}.$$
Vamos mostrar isso agora.
Seja $S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}+a_n$. Multiplicando por $q$ e usando que $qa_i=a_{i+1},$ temos $$qS_n=a_2+a_3+a_4+\ldots+a_n+a_{n+1}.$$
Subtraindo $qS_n$ de $S_n$, obtemos $$S_n-qS_n=a_1-a_{n+1}.$$ Daí, $$S_n(1-q)=a_1-a_1q^n=a_1(1-q^n),$$ donde segue que $$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},$$
como queríamos demonstrar.
Vejamos alguns exemplos simples.
Exemplo 1: Considere a progressão geométrica $(2,6,18,54,\ldots)$. Qual a soma dos 6 primeiros termos?
Solução: O primeiro termo é 2 e a razão é 3. Aplicando a fórmula, obtemos $$S_6=\frac{2(1-3^6)}{1-3}=\frac{2(1-729)}{-2}=728.$$
Exemplo 2: Encontre a soma dos 10 primeiros termos da progressão geométrica $$\left(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{16},\ldots\right).$$
Solução: O primeiro termo dessa progressão é 1 e a razão é $\dfrac{1}{2}$. Portanto, a soma dos 10 primeiros termos é $$S_{10}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}}=\frac{1023}{512}.$$
A soma dos termos de uma progressão geométrica infinita
A “soma” dos termos de uma progressão geométrica infinita é chamada de série geométrica e está bem definida quando $|q|<1$.
Essa soma é igual a $$S_{\infty}=\sum_{n=1}^{\infty}a_1q^{n-1}=\frac{a_1}{1-q}, |q|<1.$$
Por exemplo, a soma dos termos de $\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\ldots\right)$ é igual a $$S_{\infty}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.$$
04 Problemas Resolvidos sobre Progressão Geométrica
Agora vamos resolver alguns problemas sobre progressão geométrica.
Problema 1
Se $(x-4), x, (x+12)$ é uma progressão geométrica então a soma de seus termos é igual a
a) 23
b) 24
c) 25
d) 26
e) 28
Solução: Como $(x-4), x, (x+12)$ é uma progressão geométrica, temos que $$\frac{x}{x-4}=\frac{x+12}{x},$$ o que implica que $$x^2=x^2+12x-4x-48=x^2+8x-48.$$
Daí segue que $8x=48,$ ou seja, $x=6$.
Assim, $x-4=2$ e $x+12=18$ e, portanto, a soma dos termos dessa P.G. é $$2+6+18=26.$$ Logo, a alternativa correta é a (d).
Problema 2
Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão geométrica crescente. Determine a razão dessa progressão.
Solução: Os lados do triângulo são $a, aq, aq^2$. Como a progressão é crescente, $aq^2$ deve ser a hipotenusa desse triângulo.
Assim, pelo teorema de Pitágoras $$a^2+a^2q^2=a^2q^4.$$
Como $a$ é a medida de um dos lados, $a\neq0$, logo dividindo a equação anterior por $a^2$, obtemos $1+q^2=q^4,$ que é uma equação do 2º grau em $q^2:$ $$(q^2)^2-q^2-1=0.$$
Resolvendo temos $$q^2=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.$$
Como $q\in\mathbb{R},$ segue que $$q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}.$$
A seguir vamos resolver aquelas questões que mencionei anteriormente nesse artigo.
Problema 3
Fuvest 2015. Prova V. Questão 52.
Dadas as sequências $a_n=n^2+4n+4, b_n=2^{n^2}, c_n=a_{n+1}-a_n$ e $d_n=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$, definidas para valores inteiros positivos de ݊$n$, considere as seguintes afirmações:
I. ܽ$a_n$ é uma progressão geométrica;
II. ܾ $b_n$ é uma progressão geométrica;
III. ܿ$c_n$ é uma progressão aritmética;
IV. ݀ $d_n$ é uma progressão geométrica.
São verdadeiras apenas
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) I e III.
d) II e IV.
e) III e IV.
Solução:
Note que $a_n=(n+2)^2$, por isso, essa fórmula não é uma fórmula de uma P.G. que sabemos ser da forma $$a_n=a_1q^{n-1}.$$ Assim, eliminamos as alternativas a), b) e c).
Temos ainda que $b_n=2^{n^2}$ é diferente da fórmula do termo geral da P.G., logo a afirmação II também é falsa.
Isso elimina a alternativa d), portanto a alternativa correta é a e).
Problema 4
AMAUC – 2018 – Prefeitura de Ipumirim – SC – Médico
Em uma Progressão Geométrica o terceiro termo é 36 e a razão é igual a $\dfrac{2}{3}$. O primeiro termo dessa sequência é:
a) 9
b) 16
c) 81
d) 24
e) 54
Solução: Como $a_3=a_1q^2$, $a_3=36$ e $q=\dfrac{2}{3}$, segue que $$a_1=\frac{a_3}{q^2}=\frac{36}{\frac{4}{9}}=36\cdot\frac{9}{4}=81.$$
Portanto, alternativa certa é a c).
Conclusão
Agora que você chegou ao final da leitura desse artigo, estou certo do que você está pronto para começar a praticar.
Como você viu, progressão geométrica é um tópico importante que você deve estudar quando estiver se preparando para alguma prova ou para entender outros assuntos.
Espero que esse conteúdo venha a ser útil em seus estudos.
Ficou com alguma dúvida referente ao assunto? Deixe um comentário abaixo que eu ficarei feliz em ajudá-lo.
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