O que é uma sentença aberta?

Você sabe o que é uma sentença aberta?

Imagine, por um momento, a seguinte afirmação: “Para todo $x$, $x$ é maior que $5.$”

Parece simples, mas o que isso realmente significa?

Por que a variável $x$ é usada, e por que a ênfase em “maior que $5$”?

Bem-vindo ao intrigante mundo das sentenças abertas no raciocínio lógico.

À primeira vista, sentenças como essa podem parecer enigmáticas, mas elas desempenham um papel fundamental na lógica e na matemática.

Elas nos permitem expressar ideias complexas, quantificar proposições e analisar argumentos de maneira precisa e rigorosa.

Neste artigo, vamos desvendar o mistério por trás das sentenças abertas, explorando seus componentes, sua importância e como lidar com elas de maneira eficaz.

Definição de sentença aberta

Uma sentença aberta é uma afirmação que contém uma ou mais variáveis livres, sobre a qual nada se pode dizer, impossibilitando determinar se ela é verdadeira ou falsa.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1: $n$ não é um número par.

A veracidade ou falsidade dessa afirmação depende dos valores específicos atribuídos a $n$.

Quando $n=3$, a sentença é verdadeira e quando $n=2$, a sentença é falsa.

Exemplo 2: $x$ é maior que $y$.

Nesta afirmação, $x$ e $y$ são as variáveis, que podem representar quaisquer números ou objetos.

A veracidade ou falsidade da sentença depende dos valores específicos atribuídos a $x$ e $y$.

Se $x$ for igual a $5$ e $y$ for igual a $3$, a sentença será verdadeira, mas se $x$ for igual a $2$ e $y$ for igual a $8$, a sentença será falsa.

Diferença entre sentença aberta e fechada

Uma distinção importante a ser feita é entre sentenças abertas e sentenças fechadas.

Sentenças fechadas ou proposições são afirmações que são sempre verdadeiras ou falsas, independentemente das circunstâncias.

Por exemplo, $2 + 2 = 4$ é uma sentença fechada, pois é verdadeira em qualquer contexto.

Já sentenças abertas, como mencionado anteriormente, variam sua veracidade com base nas variáveis envolvidas.

Elementos de uma sentença aberta

Para compreender as sentenças abertas mais profundamente, é fundamental entender quais os elementos que as compõe.

Variáveis

Em uma sentença aberta, as variáveis são símbolos que representam elementos que podem variar ou ser substituídos por valores específicos.

Elas são frequentemente denotadas por letras, como $x, y, z$ ou qualquer letra do alfabeto.

As variáveis são usadas para tornar a sentença genérica, permitindo que ela se aplique a uma ampla gama de situações.

Por exemplo, na sentença aberta $x$ é maior que $y$, $x$ e $y$ são variáveis que podem ser substituídas por números específicos, como “$2$ é maior que $1$.”

Predicados

Os predicados são afirmações ou expressões que envolvem as variáveis e determinam a verdade ou falsidade da sentença aberta.

Eles descrevem as relações entre as variáveis e podem incluir operadores lógicos, como “é maior que,” “é igual a,” “é uma cor,” entre outros.

Por exemplo, a sentença aberta “$x$ é maior que $y$” depende das variáveis $x$ e $y$, bem como do predicado “é maior que.”

Conectivos Lógicos

Os conectivos lógicos, como “e” (conjunção), “ou” (disjunção), “se…então” (implicação), e “se, e somente se” (bicondicional), são usados para combinar várias sentenças ou predicados em uma única sentença aberta.

Eles desempenham um papel essencial na construção de sentenças mais complexas e na análise de argumentos lógicos.

Exemplo 3: $p$ é um número primo e $m$ ou $n$ é divisível por $p$.

Neste exemplo, temos a presença dos conectivos “e” e “ou”.

Conjunto verdade de uma sentença aberta com uma variável

Como vimos anteriormente, uma sentença aberta com uma variável (veja o exemplo 1 acima), pode ser verdade para alguns valores e falso para outros.

Para destacar o valores de uma variável $x$ que tornam uma sentença aberta verdadeira, construímos um conjunto com esse valores.

Se $P(x)$ é uma sentença aberta com variável $x$, o conjunto verdade é $$V_P=\{x; P(x)\;\mbox{é verdadeira}\}.$$
Exemplo 4: Quais os conjuntos verdade das seguintes afirmações.

1. Machado de Assis escreveu $x$.
2. $n$ é um numero primo par.

Solução.

1. O conjunto verdade dessa proposição aberta é $$\small \{\mbox{A Mão e a Luva, Quincas Borba, Dom Casmurro},\ldots\}.$$
2. Já nesse caso o conjunto verdade é ${2}$.

No tocante às variáveis, fica claro pelo contexto que elas são de um tipo particular.

O conjunto de objetos desse tipo é chamado de universo do discurso da afirmação, e dizemos que as variáveis percorrem esse universo.

Por exemplo, na maioria dos contextos o universo para a afirmação $x^3<27$ seria o conjunto de todos os números reais. E o universo para a afirmação “$x$ é um homem” pode ser o conjunto de todas as pessoas.

A escolha do universo, às vezes, pode fazer diferença.

Por exemplo, $\{x\in\mathbb{R}; x^2<4\}$ é o conjunto de todos os números reais entre $-2$ e $2$. E $\{x\in \mathbb{Z}; x^2<4\}=\{-1,0,1\}$.

Conclusão

Nesse artigo, mostramos um pouco sobre o mundo das sentenças abertas.

Vimos a definição e os seus principais elementos, além de estudarmos o conjunto verdade de uma sentença aberta de uma variável.

No entanto, há muito mais a ser descoberto. Portanto, não hesite em continuar sua jornada no mundo fascinante da lógica e raciocínio, aproveitando ao máximo o conhecimento adquirido sobre as sentenças abertas.

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