Como calcular a derivada da função arco seno

A função arco seno é a inversa da função seno com domínio restringido de forma adequada.

Mais precisamente, consideremos que a função seno está definida no intervalo $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. 

Definimos $\mbox{arcsen}: [-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ da seguinte forma \[y=\mbox{arcsen}\;x\Longleftrightarrow y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\;\mbox{e}\;\mbox{sen}\;y=x.\]

O objetivo desse artigo é calcular a derivada dessa função.

Derivada de $\mbox{arcsen}\;x$

Escrevendo $y(x)=\mbox{arcsen}\;x$, temos $\mbox{sen}(y(x))=x$. Derivando em relação a $x$ e usando a regra da cadeia obtemos \[\cos(y(x))\cdot y'(x)=1\Longrightarrow y'(x)=\frac{1}{\cos (y(x))}.\]

Com objetivo de escrever o lado direito da última da igualdade somente como função de $x$, lembramos que para $y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, $\cos y>0$. 

Assim, com $y$ nesse intervalo, temos $\cos y=\sqrt{\cos^2y}=\sqrt{1-\mbox{sen}^2y}=\sqrt{1-x^2}.$ Portanto, \[\frac{d}{dx}(\mbox{arcsen}\;x)=y'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\]

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