Como calcular a derivada da função arco seno

A função arco seno é a inversa da função seno com domínio restringido de forma adequada.

Mais precisamente, consideremos que a função seno está definida no intervalo $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$. 

Definimos $\text{arcsen}:[-1,1]\to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ da seguinte forma $$y=\text{arcsen}x⟺y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\text{e}\text{sen}y=x.$$

O objetivo desse artigo é calcular a derivada dessa função.

Derivada de $\text{arcsen}x$

Escrevendo $y(x)=\text{arcsen}x$, temos $\text{sen}(y(x))=x$. Derivando em relação a $x$ e usando a regra da cadeia obtemos $$\cos (y(x))\cdot y^{\prime }(x)=1⟹y^{\prime }(x)=\frac{1}{\cos (y(x))}.$$

Com objetivo de escrever o lado direito da última da igualdade somente como função de $x$, lembramos que para $y\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$, $\cos y>0$. 

Assim, com $y$ nesse intervalo, temos $\cos y=\sqrt{{\cos }^{2}y}=\sqrt{1-{\text{sen}}^{2}y}=\sqrt{1-x^2}.$ Portanto, $$\frac{d}{dx}(\text{arcsen}x)=y^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

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