Ao integrar funções trigonométricas ou ao usar uma substituição trigonométrica para integrar, nos encontramos frequentemente com certas expressões, para as quais, é necessário utilizar certas identidades trigonométricas para continuar com os cálculos.
Por exemplo, como calcular a seguinte integral: \[\int\cos^2x\;dx?\]
Se você está curioso, então continue lendo esse post, pois é sobre isso que trataremos aqui.
A seguir, vou te mostrar 3 dessas identidades trigonométricas que são bastante úteis na hora de calcular integrais.
Relação Fundamental da Trigonometria
A primeira identidade trigonométrica que trago aqui é a famosa Relação Fundamental da Trigonometria, ou seja, \[\mbox{sen}^2x+\cos^2 x=1.\]
Veja como usamos essa identidade para calcular a seguinte integral: \[\int\cos^3x\;dx.\]
Observe que $\cos^3x=\cos^2x\cdot \cos x$. Da relação fundamental acima, temos \[\cos^2x\cdot\cos x=(1-\mbox{sen}^2x)\cos x.\] Com isso, usaremos o método da substituição para calcular a integral.
Fazendo $u=\mbox{sen}\;x$, vem que $du=\cos x\;dx$ e \[\int\cos^3x\;dx=\int(1-\mbox{sen}^2x)\cos x\;dx=\int(1-u^2)\;du.\] Daí, tem-se que \[\int(1-u^2)\;du=u-\frac{u^3}{3}+C,\] e portanto, \[\int\cos^3x\;dx=\mbox{sen}\;x-\frac{\mbox{sen}^3x}{3}+C.\]
Também podemos a Relação Fundamental para calcular integrais usando substituição trigonométrica.
Por exemplo, como calcular \[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;dx?\]
Veja que $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ está definida para $-1<x<1$. Dessa forma, podemos escrever $x=\mbox{sen}\;\theta$, com $-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$.
Com isso, temos $dx=\cos \theta\; d\theta$ e \[\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\mbox{sen}^2\theta}=\sqrt{\cos^2\theta}=\cos \theta,\] pois $\cos\theta>0$ para $\theta\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Assim, \[\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\;dx}=\int\frac{1}{\cos\theta}\cdot \cos\theta\;d\theta=\int\;d\theta=\theta+C.\]
Já que $x=\mbox{sen}\;\theta$, segue que $\theta=\mbox{arcsen}\;x$. Logo, \[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;dx=\mbox{arcsen}\;x+C.\]
Seno do arco duplo
Outra identidade bastante útil é a do seno do arco duplo. Ou seja, $$\mbox{sen}(2x)=2\;\mbox{sen}\; x\cos x.$$ Vamos calcular por exemplo $\int\mbox{sen}\; x\cos x\;dx$.
Temos $$\int\mbox{sen} x\cos x\;dx=\int\frac{\mbox{sen} (2x)}{2}\;dx=\frac{1}{2}\int\mbox{sen}(2x)\;dx=-\frac{\cos(2x)}{4}+C.$$
Cosseno do arco duplo
Também temos uma identidade para o cosseno do arco duplo, a saber, \[\cos(2x)=\cos^2x-\mbox{sen}^2x=2\cos^2x-1=1-2\;\mbox{sen}^2x.\]
Vejamos como usar essa identidade para calcular a integral mencionada no início do texto. Note que de $\cos(2x)=2\cos^2x-1$, segue que \[\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.\] Com isso, temos que
\begin{eqnarray*}
\int\cos^2x\;dx&=&\int\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)\;dx\\&=&\frac{1}{2}\int\;dx+\frac{1}{2}\int\cos(2x)\;dx\\&=&\frac{x}{2}+\frac{\mbox{sen}(2x)}{4}+C.
\end{eqnarray*}
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