3 identidades trigonométricas que você deve saber para calcular integrais

Ao integrar funções trigonométricas ou ao usar uma substituição trigonométrica para integrar, nos encontramos frequentemente com certas expressões, para as quais, é necessário utilizar certas identidades trigonométricas para continuar com os cálculos.

Por exemplo, como calcular a seguinte integral: $$\int {\cos }^{2}xdx?$$

Se você está curioso, então continue lendo esse post, pois é sobre isso que trataremos aqui.

A seguir, vou te mostrar 3 dessas identidades trigonométricas que são bastante úteis na hora de calcular integrais.

Relação Fundamental da Trigonometria

A primeira identidade trigonométrica que trago aqui é a famosa Relação Fundamental da Trigonometria, ou seja, $${\text{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$$

Veja como usamos essa identidade para calcular a seguinte integral: $$\int {\cos }^{3}xdx.$$

Observe que ${\cos }^{3}x={\cos }^{2}x\cdot \cos x$. Da relação fundamental acima, temos $${\cos }^{2}x\cdot \cos x=(1-{\text{sen}}^{2}x)\cos x.$$ Com isso, usaremos o método da substituição para calcular a integral.

Fazendo $u=\text{sen}x$, vem que $du=\cos xdx$ e $$\int {\cos }^{3}xdx=\int (1-{\text{sen}}^{2}x)\cos xdx=\int (1-u^2)du.$$ Daí, tem-se que $$\int (1-u^2)du=u-\frac{u^3}{3}+C,$$ e portanto, $$\int {\cos }^{3}xdx=\text{sen}x-\frac{{\text{sen}}^{3}x}{3}+C.$$

Também podemos a Relação Fundamental para calcular integrais usando substituição trigonométrica. 

Por exemplo, como calcular $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx?$$  

Veja que ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ está definida para $-1<x<1$. Dessa forma, podemos escrever $x=\text{sen}\theta$, com $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$.

Com isso, temos $dx=\cos \theta d\theta$ e $$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-{\text{sen}}^2\theta }=\sqrt{{\cos }^2\theta }=\cos \theta ,$$ pois $\cos \theta >0$ para $\theta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$. Assim, $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}dx}=\int \frac{1}{\cos \theta }\cdot \cos \theta d\theta =\int d\theta =\theta +C.$$

Já que $x=\text{sen}\theta$, segue que $\theta =\text{arcsen}x$. Logo, $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\text{arcsen}x+C.$$

Seno do arco duplo

Outra identidade bastante útil é a do seno do arco duplo. Ou seja, $$\text{sen}(2x)=2\text{sen}x\cos x.$$ Vamos calcular por exemplo $\int \text{sen}x\cos xdx$.

Temos $$\int \text{sen}x\cos xdx=\int \frac{\text{sen}(2x)}{2}dx=\frac{1}{2}\int \text{sen}(2x)dx=-\frac{\cos (2x)}{4}+C.$$

Cosseno do arco duplo

Também temos uma identidade para o cosseno do arco duplo, a saber, $$\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\text{sen}}^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\text{sen}}^{2}x.$$

Vejamos como usar essa identidade para calcular a integral mencionada no início do texto. Note que de $\cos (2x)=2{\cos }^{2}x-1$, segue que $${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2}.$$ Com isso, temos que

$$\begin{array}{rcl}\int {\cos }^{2}xdx& =& \int \left(\frac{1+\cos (2x)}{2}\right)dx\\ & =& \frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \cos (2x)dx\\ & =& \frac{x}{2}+\frac{\text{sen}(2x)}{4}+C.\end{array}$$