O dispositivo prático de Briot-Ruffini se destaca como uma técnica acessível para simplificar a divisão de polinômios por binômios lineares, oferecendo rapidez e precisão ao resolver problemas que poderiam ser exaustivos com métodos tradicionais.
Neste artigo, exploraremos o que é o dispositivo de Briot-Ruffini, suas aplicações práticas e como utilizá-lo de maneira eficiente.
O que é o dispositivo prático de Briot Ruffini?
O dispositivo de Briot-Ruffini é um método matemático utilizado para realizar a divisão de polinômios de forma simplificada e eficiente, mais precisamente em situações onde se divide um polinômio por um binômio da forma $x-a$ .
Esse processo elimina a necessidade de realizar a divisão longa tradicional, reduzindo significativamente o trabalho envolvido, principalmente em problemas onde os coeficientes são grandes ou complexos.
Esse método leva o nome de dois matemáticos que contribuíram para seu desenvolvimento: Paolo Ruffini, um matemático italiano que foi pioneiro no estudo das raízes de equações algébricas, e Charles Briot, um matemático francês conhecido por seus trabalhos com funções elípticas.
O dispositivo de Briot-Ruffini tem algumas características específicas que o tornam tão úteis:
- Simplicidade no Cálculo: O método utiliza apenas operações básicas como adição e multiplicação.
- Rapidez: Por evitar o uso de divisão longa, o cálculo é feito de maneira mais direta.
- Foco em Binômios Específicos: O dispositivo só pode ser usado quando o divisor é da forma $x-a$ , o que o limita em termos de aplicações, mas garante sua eficiência em casos apropriados.
- Resultado Imediato: Ao final do processo, é possível determinar tanto o quociente quanto o resto da divisão.
Na prática, ele pode ser usado para encontrar raízes de polinômios, fatoração e solução de equações algébricas, sendo uma alternativa útil a métodos mais tradicionais e trabalhosos.
Quando usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini?
O dispositivo de Briot-Ruffini é utilizado em situações específicas que envolvem a divisão de polinômios e atende a determinadas condições:
- Divisor da Forma $x-a$: O método é aplicável somente quando o divisor é um binômio linear, da forma $x-a$, onde $a$ é uma constante.
- Polinômios de Grau Maior ou Igual a 2: O dispositivo é mais vantajoso quando aplicado a polinômios de grau superior a 1, pois, nesses casos, a divisão longa pode se tornar trabalhosa.
- Verificação de Raízes ou Fatoração: Ele é útil para determinar rapidamente se um valor é uma raiz do polinômio, já que o resto da divisão será igual a zero se for uma raiz.
Como funciona o dispositivo de Briot-Ruffini?
O dispositivo de Briot-Ruffini segue um procedimento que usa uma tabela para organizar os cálculos. Veja o passo a passo a seguir:
1. Escreva os Coeficientes do Polinômio: Liste os coeficientes do polinômio do dividendo em ordem decrescente de potências. Se houver termos ausentes, substitua por zero
2. Identifique a raiz do polinômio do divisor:** Determine o valor de $a$ que é a raiz do binômio $x-a$.
3. Organize a Tabela: Desenhe uma linha horizontal e posicione os coeficientes do polinômio acima dela. À esquerda, escreva o valor de $a$. Se o polinômio do dividendo é $b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_2x^2+b_1x+b_0$, então o desenho fica como abaixo:
4. Comece o Processo:
- O primeiro coeficiente desce diretamente para a linha de baixo.
- Multiplique esse valor por $a$ e some com o segundo coeficiente.
- Escreva o resultado sob o segundo coeficiente.
- Multiplique esse resultado por $a$ e some ao terceiro coeficiente. O valor encontrado será colocado sob o terceiro coeficiente.
- Repita o processo até completar todos os coeficientes.
5. Interprete os Resultados
- A linha inferior contém os coeficientes do quociente.
- O último número da linha inferior é o resto da divisão.
Exemplos
Exemplo 1:
Efetue a divisão de $P(x)=3x^4-x^3+2x-44$ por $x-2$.
Solução: A raiz de $x-2$ é $2$. Seguindo o primeiro passo do procedimento descrito acima, montamos a tabela abaixo:
Agora, reescrevemos o primeiro coeficiente na linha inferior.
Em seguida, multiplicamos o $3$ por $2$ e somamos com o segundo coeficiente de $P(x)$, a saber, $-1$, ou seja, fazemos $$3\cdot 2+(-1)=5.$$
Daí, escrevemos o resultado $5$ abaixo do coeficiente $-1$.
Repetimos o processo, multiplicamos $5$ por $2$ e somamos com o terceiro coeficiente de $P(x)$, o número $0$: $$5\cdot 2+0=10.$$
Escrevemos esse número abaixo do coeficiente 0.
Repetimos o procedimento mais uma vez, multiplicamos $10$ por $2$ e somamos com o quarto coeficiente de $P(x)$, o número 2. O cálculo é $$10\cdot 2+2=22.$$
O resultado obtido é colocado abaixo do número $2$, como mostra a figura a seguir:
Agora, multiplicamos $22$ por $2$ e somamos o resultado com $-44$: $$22\cdot 2+(-44)=0.$$ Este resultado é colocado embaixo do $-44$.
E como vimos acima, $0$ é o resto da divisão de $P(x)$ por $x-2$ e os demais números são os coeficientes do quociente.
Portanto, o polinômio resultante da divisão de $3x^4-x^3+2x-44$ por $x-2$ é $3x^3+5x^2+10x+22$.
Exemplo 2:
Determine o resto da divisão de $x^3-4x+11$ por $x+4$.
Solução:
A raiz de $x+4$ é $-4$ e os coeficientes do polinômio $x^3-4x+11$ são $1, 0, -4$ e $11$. Com essas informações, organizamos a tabela abaixo.
Seguindo o procedimento preenchemos a tabela da seguinte forma:
Portanto, o resto da divisão de $x^3-4x+11$ por $x+4$ é $-37$.
Exemplo 3
Considere o polinômio $P(x)=x^3-3x^2+ax+b$. Sabe-se que $x=1$ é uma raiz de $P(x)$ e que o resto da divisão de $P(x)$ por $x−2$ é $5$. Determine o valor de $a \cdot b$.
Solução. Se $x=1$ é raiz, então a divisão de $P(x)$ por $x-1$ deixa resto $0$. Dessa forma, organizamos a tabela do dispositivo prático de Briot-Ruffini como segue:
Já que o resto da divisão é $0$, temos $$-2+a+b=0\Rightarrow a+b=2.$$
Usando o dispositivo mais uma vez para efetuar a divisão de $P(x)$ por $x-2$, obtemos a tabela abaixo:
Como o resto da divisão de $P(x)$ por $x-2$ é $5$, temos $-4+2a+b=5$, ou seja, $$2a+b=9.$$
Resolvendo o sistema de equações
$$\left\{\begin{array}{r}
a+b=2\\
2a+b=9
\end{array}\right.$$
obtemos $a=7$ e $b=-5$. Portanto, $a\cdot b=7\cdot (-5)=-35$.
Conclusão
O dispositivo prático de Briot-Ruffini é uma ferramenta indispensável para estudantes que lidam com álgebra e polinômios.
Sua simplicidade e eficiência tornam-no uma escolha ideal para resolver divisões polinomiais rapidamente, economizando tempo e reduzindo a possibilidade de erros.
Ao dominar este método, você estará melhor preparado para enfrentar desafios matemáticos que vão desde verificações de raízes até a fatoração de polinômios complexos.
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