A Desigualdade de Cauchy-Schwarz, também conhecida como Desigualdade de Schwarz ou Desigualdade de Bunyakovski, tem raízes profundas na história da matemática.
A história dessa desigualdade remonta ao século XIX, com contribuições significativas de Augustin-Louis Cauchy, Victor Yacovlevich Bunyakovsky e Hermann Amandus Schwarz.
Em 1821, Cauchy publicou a desigualdade $$\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq \left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right)^{\frac{1}{2}}, a_i, b_i\in \mathbb{R}.$$na segunda de duas notas sobre a teoria de desigualdades na parte final de seu livro Cours d’Analyse Algébrique
Em 1859, Bunyakosvsky publicou a seguinte versão da desigualdade: $$\int_a^bf(x)g(x)\;dx\leq \left(\int_a^bf^2(x)\;dx\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_a^bg^2(x)\;dx\right)^{\frac{1}{2}}.$$
Em 1885, quando trabalhava na teoria de superfícies mínimas, Schwarz teve a necessidade de um análogo com integrais duplas da desigualdade de Cauchy.
Ou seja, ele precisou mostrar que se $S\subset \mathbb{R}^2$, $f:S\to\mathbb{R}$ e $g:S\to \mathbb{R}$, então as integrais duplas $$A=\iint_Sf^2\;dxdy, \quad B=\iint_Sfg\;dxdy, \quad C=\iint_Sg^2\;dxdy$$ devem satisfazer a desigualdade
$$\vert B\vert\leq \sqrt{A}\cdot\sqrt{C}.$$
Além disso, Schwarz descobriu que essa desigualdade era estrita, exceto quando $f$ e $g$ são proporcionais.
Nesse artigo, apresentamos a versão geral da desigualdade de Cauchy-Schwarz e a sua demonstração.
Formulação matemática
A Desigualdade de Cauchy-Schwarz apresenta uma formulação matemática elegante e poderosa, proporcionando uma visão clara da relação entre os elementos envolvidos.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz: para dois vetores $u$ e $v$ em um espaço vetorial sobre $\mathbb{K}$ com produto interno: $$|\langle u,v\rangle|^2\leq \Vert u\Vert \cdot \Vert v\Vert,$$onde $\langle \cdot, \cdot\rangle$ é o produto interno e $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Além disso, a igualdade é válida se, e somente se, os vetores $u$ e $v$ são linearmente dependentes.
Demonstração
Dados $\lambda, \mu\in \mathbb{K}$ e $u, v\in \mathbb{V}$, temos $$\begin{aligned}
\langle \lambda u-\mu v, \lambda u-\mu v \rangle
&=\langle\lambda u,\lambda u \rangle-\langle\mu v,\lambda u \rangle-\langle\lambda u,\mu v \rangle+\langle \mu v, \mu v\rangle\\&=\lambda\overline{\lambda}\langle u, u\rangle-\mu\overline{\lambda}\langle v, u\rangle-\lambda\overline{\mu}\langle u, v \rangle +\mu\overline{\mu}\langle v, v \rangle\\ &=\vert\lambda\vert^2\Vert u\Vert^2-2\;\textrm{Re}(\lambda\overline{\mu}\langle u, v\rangle)+\vert\mu\vert^2\Vert v\Vert^2\end{aligned}$$
Tomando $\lambda=\Vert v\Vert^2$ e $\mu=\langle u, v\rangle$, obtemos $$\lambda\overline{\mu}\langle u, v\rangle=\Vert v\Vert^2\overline{\mu}\mu=\Vert v\Vert^2\vert\beta\vert^2\in\mathbb{R}.$$
Daí, segue que
$$\begin{aligned}
0\leq \langle\lambda u-\mu v,\lambda u-\mu v \rangle&=\Vert u\Vert^2\Vert v\Vert^4-2\Vert v\Vert^2\vert\langle u,v\rangle\vert^2+\vert\langle u, v\rangle\vert^2\Vert v\Vert^2\\
&=\Vert v\Vert^2 (\Vert u\Vert^2\Vert v\Vert^2-\vert\langle u, v\rangle\vert^2).
\end{aligned}$$
Portanto, $$\Vert u\Vert^2\Vert v\Vert^2-\vert\langle u, v\rangle\vert^2\geq 0\quad\mbox{ou}\quad \vert\langle u, v\rangle\vert\leq \Vert u\Vert\cdot\Vert v\Vert.$$Suponha agora que $\vert\langle u, v\rangle\vert=\Vert u\Vert\cdot \Vert v\Vert.$
Pelo cálculo acima, teremos $\langle \lambda u-\mu v, \lambda u-\mu v\rangle=0$ quando $\lambda=\Vert v\Vert^2$ e $\mu=\langle u , v\rangle$.
Se $v=0$, claramente $u$ e $v$ são linearmente dependentes.
Suponha então $v\neq 0$. Logo, $\lambda\neq 0$ e daí $\lambda u=\mu v$, o que implica $u=\dfrac{\mu}{\lambda}v$. Assim, $u$ e $v$ são linearmente dependentes.
Por outro lado, se $u$ e $v$ são linearmente dependentes, então existe $\alpha \in \mathbb{K}$ tal que $u=\alpha v$.
Por isso, $$\vert\langle u, v\rangle\vert=\vert\alpha\vert \langle u, u\rangle=\vert\alpha\vert \Vert u\Vert^2=\Vert u\Vert \Vert v\Vert.$$
Referências
[1] Bueno, Hamilton Prado. Álgebra Linear: um segundo curso, volume 06 de Textos Universitários, 2006.
[2] Steele, J. Michael. The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge University Press, 2004.
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