3 produtos notáveis úteis no cálculo de limites

Você já deve ter se deparado com um limite da forma $$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x-2}$$ e percebido que é uma indeterminação da forma ${\displaystyle \frac{0}{0}}$. 

Para lidar com esse tipo de situação é bastante útil conhecer alguns artifícios que nos ajudam a calcular limites como esses. Um desses artifícios é o produto notável.

Um produto notável é a multiplicação entre dois ou mais binômios resultando em um binômio, um trinômio ou um outro polinômio.

A seguir, irei te mostrar 3 produtos notáveis que irão te ajudar calcular limites.

Cubo de uma soma dois números

O primeiro produto notável que exploraremos é o “cubo de uma soma de dois números”.

Sejam $a,b$ números reais. O cubo de $a+b$ é $$(a+b{)}^3=a^2+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3.$$

Vejamos como conhecer esse produto notável pode ser útil no cálculo de limites.

Exemplo 1: Vamos usar esse produto notável para calcular $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(3+x{)}^3-27}{x}.$$ 

Solução:

Usando a identidade acima, temos que $(3+x{)}^3-27=27+27x+9x^2+x^3-27=27x+9x^2+x^3.$ Com isso, temos $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(3+x{)}^3-27}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x(27+9x+x^2)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}(27+9x+x^2)=27.$$

Exemplo 2: Calcule $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{(x+2{)}^3}-\frac{1}{8}}{x}.$$

Solução: Temos

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{(x+2{)}^3}-\frac{1}{8}}{x}& =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{8-(x+2{)}^3}{8(x+2{)}^3}}{x}\\ & =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{8-(x^3+6x^2+12x+8)}{8x(x+2{)}^3}\\ & =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{-x^3-6x^2-12x}{8x(x+2{)}^3}\\ & =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{-x^2-6x-12}{8(x+2{)}^3}\\ & =& -\frac{12}{64}\\ & =& -\frac{3}{16}\end{array}$$

Diferença de quadrados.

Sejam $a,b$ dois números reais. A diferença de quadrados $a^2-b^2$ é igual ao produto da soma desses números pela sua diferença, ou seja, $$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$

Vejamos como usamos esse produto para calcular o limite no início do texto.

Observe que $x^2-4$ é uma diferença de quadrados: $x^2-4=x^2-2^2.$ Assim, $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Com isso, temos $$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}(x+2)=4.$$

Vejamos mais um exemplo: vamos calcular $$\underset{x\to 16}{lim}\frac{\sqrt{x}-4}{x-16}.$$ Observe que $x-16=(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)$, dessa forma, $$\underset{x\to 16}{lim}\frac{\sqrt{x}-4}{x-16}=\underset{x\to 16}{lim}\frac{\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}=\underset{x\to 16}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}+4}=\frac{1}{8}.$$

Diferença de cubos

Em relação à diferença entre os cubos $a^3$ e $b^3$, onde $a,b\in \mathbb{R}$, temos a seguinte identidade:$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$ Veja a seguir um exemplo de como calcular um limite usando esse produto notável.

Exemplo: Calcule $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^3-27}{x^2-9}.$$ Note que $x^2-9=(x+3)(x-3)$, como vimos anteriormente, e $x^3-27=x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9)$. Com isso, $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^3-27}{x^2-9}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x+3}{x^2+3x+9}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}.$$