Fórmula de Bhaskara | Uma Ferramenta Poderosa para Resolver Equações de 2º Grau

Entendendo equações de 2º grau

As equações de segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas, desempenham um papel fundamental na matemática.

Elas tem a forma geral $a x^{2} + b x + c = 0,$ onde $a, b$ e $c$ são coeficientes, sendo $a \neq 0$ , e $x$ é a variável desconhecida que estamos tentando encontrar.

Aqui estão os principais pontos a serem compreendidos sobre equações quadráticas.

Forma geral

A forma geral de uma equação quadrática é apresentada acima, onde $a$ é o coeficiente principal (não pode ser zero), $b$ é o coeficiente linear e $c$ é o termo constante.

Trabalharemos aqui com coeficientes reais.

Vejamos alguns exemplos:

$2 x^{2} - 5 x + 7 = 0.$ Aqui, $a = 2, b = - 5$ e $c = 7$ .
$x^{2} - 4 = 0$ . Nesse caso, $a = 1, b = 0$ e $c = - 4$ .
$- x^{2} + 12 x = 0$ . Os coeficientes aqui $a = - 1, b = 12$ e $c = 0$ .

A derivação da fórmula de Bhaskara

A Fórmula de Bhaskara é um resultado matemático notável que nos permite encontrar as raízes (ou soluções) de uma equação quadrática na forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , onde $a, b$ e $c$ são coeficientes conhecidos.

Veja a seguir o passo a passo como obter essa fórmula.

Passos detalhados para derivar a fórmula de Bhaskara

Passo 1: Dividindo a Equação por $a$

O primeiro passo na derivação da Fórmula de Bhaskara é dividir todos os termos da equação por $a$ ( $\neq 0$ ).

Isso resulta na equação simplificada: $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0.$

Passo 2: Completando o Quadrado

O próximo passo é completar o quadrado, transformando o lado esquerdo da equação em um quadrado perfeito.

Para fazer isso, adicionamos e subtraímos ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ . Isso nos leva à forma: $x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} = 0.$

Agora, reorganizamos os termos:

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} = 0.$

Passo 3: Isolando o Quadrado Perfeito

Agora, isolamos o quadrado perfeito ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$ no lado esquerdo da equação: ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$

Passo 4: Aplicando a Raiz Quadrada

Para eliminar o quadrado e isolar $x$ , aplicamos a raiz quadrada a ambos os lados:

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}} .$

Passo 5: Isolando $x$

Finalmente, isolamos $x$ subtraindo $\frac{b}{2 a}$ de ambos os lados: $x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}},$ ou $x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{4 a c}{4 a^{2}}},$

ou ainda $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Esta é a Fórmula de Bhaskara completa, que nos permite encontrar as raízes de uma equação quadrática em termos dos coeficientes $a, b$ e $c$ .

O número $b^{2} - 4 a c$ sob o radical é chamada de discriminante e determina a natureza das raízes (raízes reais distintas, iguais ou complexas) da equação quadrática.

Aplicando a fórmula de Bhaskara

Vejamos como resolver equações do 2º grau usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 1: Identificar os Coeficientes da Equação Quadrática

Antes de aplicar a fórmula de Bhaskara, é fundamental identificar os coeficientes da equação quadrática.

Lembre-se de que a forma padrão de uma equação quadrática é $a x^{2} + b x + c = 0$ , onde $a$ , $b$ e $c$ são os coeficientes.

Exemplo: Para a equação $3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$ , os coeficientes são $a = 3, b = - 6$ e $c = 2$ .

Passo 2: Calcular o Discriminante ( $Δ$ )

O discriminante ( $Δ$ ) é uma parte crítica da fórmula de Bhaskara e determina o tipo e o número de raízes da equação. O discriminante é calculado usando a fórmula: $Δ = b^{2} - 4 a c .$

Exemplo: Para a equação $3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$ , o discriminante é $Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 - 24 = 12.$

Passo 3: Aplicar a Fórmula de Bhaskara

Agora que você identificou os coeficientes e calculou o discriminante, pode aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes.

A fórmula é dada por: $x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a} .$

Exemplo: No nosso caso, temos $x_{1} = \frac{6 + \sqrt{12}}{6} e x_{2} = \frac{6 - \sqrt{12}}{6} .$

Significado geométrico das raízes

Sabe-se que o gráfico de uma função da forma $f (x) = a x^{2} + b x + c, a \neq 0$ (chamada de função quadrática) é uma parábola.

Quando $a > 0$ , a concavidade da parábola é para cima e quando $a < 0$ , a concavidade é para baixo.

As raízes da equação $a x^{2} + b x + c = 0$ são os zeros da função $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Assim, geometricamente, as raízes são as abcissas dos pontos de interseção da parábola com o eixo $O x$ .

Casos especiais e discriminante

A compreensão dos diferentes casos do discriminante é essencial ao resolver equações quadráticas com a Fórmula de Bhaskara. Aqui estão alguns pontos adicionais a considerar.

Caso 1: Discriminante positivo – duas raízes reais distintas.

Quando o discriminante ( $Δ$ ) é positivo, a equação quadrática possui duas raízes reais distintas.

Isso significa que a parábola representada pela equação intercepta o eixo $O x$ em dois pontos diferentes.

Caso 2: Discriminante igual a zero – duas raízes reais iguais.

Quando o discriminante ( $Δ$ ) é igual a zero, a equação quadrática possui duas raízes reais idênticas.

Isso significa que a parábola toca o eixo $O x$ em apenas um ponto.

Na prática, isso indica que há apenas uma solução para a equação quadrática.

Caso 3: Discriminante negativo – raízes complexas conjugadas.

Quando o discriminante ( $Δ$ ) é negativo, a equação quadrática não possui raízes reais.

Em vez disso, como os coeficientes da equação são reais, as raízes são complexas conjugadas.

Nesse caso a parábola não cruza o eixo $O x$ .

Conclusão

A Fórmula de Bhaskara é uma ferramenta matemática poderosa e versátil para resolver equações de segundo grau.

Nesse artigo, vimos que através do discriminante somos capazes de saber quantas raízes distintas pode ter e entendemos o significado geométrico das raízes.