3 produtos notáveis úteis no cálculo de limites

Você já deve ter se deparado com um limite da forma $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$ e percebido que é uma indeterminação da forma $\dfrac{0}{0}$. 

Para lidar com esse tipo de situação é bastante útil conhecer alguns artifícios que nos ajudam a calcular limites como esses. Um desses artifícios é o produto notável.

Um produto notável é a multiplicação entre dois ou mais binômios resultando em um binômio, um trinômio ou um outro polinômio.

A seguir, irei te mostrar 3 produtos notáveis que irão te ajudar calcular limites.

Cubo de uma soma dois números

O primeiro produto notável que exploraremos é o “cubo de uma soma de dois números”.

Sejam $a,b$ números reais. O cubo de $a+b$ é $$(a+b)^3=a^2+3a^2b+3ab^2+b^3.$$

Vejamos como conhecer esse produto notável pode ser útil no cálculo de limites.

Exemplo 1: Vamos usar esse produto notável para calcular \[\lim_{x\to 0}\frac{(3+x)^3-27}{x}.\] 

Solução:

Usando a identidade acima, temos que $(3+x)^3-27=27+27x+9x^2+x^3-27=27x+9x^2+x^3.$ Com isso, temos \[\lim_{x\to 0}\frac{(3+x)^3-27}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(27+9x+x^2)}{x}=\lim_{x\to 0}(27+9x+x^2)=27.\]

Exemplo 2: Calcule \[\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{(x+2)^3}-\frac{1}{8}}{x}.\]

Solução: Temos

\begin{eqnarray*}
\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{(x+2)^3}-\frac{1}{8}}{x}&=&\lim_{x\to 0}\frac{\frac{8-(x+2)^3}{8(x+2)^3}}{x}\\ &=& \lim_{x\to 0}\frac{8-(x^3+6x^2+12x+8)}{8x(x+2)^3}\\
&=& \lim_{x\to 0}\frac{-x^3-6x^2-12x}{8x(x+2)^3}\\&=& \lim_{x\to 0}\frac{-x^2-6x-12}{8(x+2)^3}\\&=& -\frac{12}{64}\\&=&-\frac{3}{16}
\end{eqnarray*}

Diferença de quadrados.

Sejam $a, b$ dois números reais. A diferença de quadrados $a^2-b^2$ é igual ao produto da soma desses números pela sua diferença, ou seja, $$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$

Vejamos como usamos esse produto para calcular o limite no início do texto.

Observe que $x^2-4$ é uma diferença de quadrados: $x^2-4=x^2-2^2.$ Assim, $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Com isso, temos \[\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4.\]

Vejamos mais um exemplo: vamos calcular \[\lim_{x\to 16}\frac{\sqrt{x}-4}{x-16}.\] Observe que $x-16=(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)$, dessa forma, \[\lim_{x\to 16}\frac{\sqrt{x}-4}{x-16}=\lim_{x\to 16}\frac{\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}=\lim_{x\to 16}\frac{1}{\sqrt{x}+4}=\frac{1}{8}.\]

Diferença de cubos

Em relação à diferença entre os cubos $a^3$ e $b^3$, onde $a,b\in\mathbb{R}$, temos a seguinte identidade:\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).\] Veja a seguir um exemplo de como calcular um limite usando esse produto notável.

Exemplo: Calcule \[\lim_{x\to 3}\frac{x^3-27}{x^2-9}.\] Note que $x^2-9=(x+3)(x-3)$, como vimos anteriormente, e $x^3-27=x^3-3^3=(x-3)(x^2+3x+9)$. Com isso, \[\lim_{x\to3}\frac{x^3-27}{x^2-9}=\lim_{x\to 3}\frac{x+3}{x^2+3x+9}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}.\]