Quando estudamos potenciação logo nos deparamos com várias de suas propriedades.
O conhecimento dessas propriedades será requerido em estudos posteriores, como por exemplo, em expressões numéricas e expressões algébricas.
Por isso, você deve estar atento para não cair nas várias armadilhas que existem quando se trabalha com potenciação.
Nesse artigo, vou te mostrar 10 erros comuns que você deve evitar quando for trabalhar com potências.
Potência de potência
Qual a maneira certa de resolver $(a^m)^n?$
Segundo uma das propriedades da potenciação $$(a^m)^n=a^{m\cdot n}.$$
Ou seja, para encontrar uma potência de uma potência, você repete a base e multiplica os expoentes.
Vejamos quais são os erros comuns envolvendo potência de potência.
Erro #1: Somar os expoentes em vez de multiplicá-los
Considere a potência de potência $$(2^3)^2.$$
Um erro comum é escrever $$(2^3)^2=2^5,$$ ou seja, somar os expoentes em vez de multiplicá-los.
Assim, o correto seria $$(2^3)^2=2^6.$$
De fato, pela definição de potenciação temos $$(2^3)^2=(2\cdot2\cdot 2)(2\cdot2\cdot 2)=2^6.$$
Erro #2: Elevar um expoente a outro
Um outro erro que podemos cometer em potência de potência é elevar um expoente a outro.
Por exemplo, $$(7^4)^2=7^{4^2}$$ está errado, mas por vezes somos tentados a escrever dessa forma.
A igualdade correta é $$(7^4)^2=7^{4\cdot 2}=7^8.$$
Potência de um produto
Uma outra propriedade da potenciação nos diz que $$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n.$$
Isto é, a potência de um produto é igual ao produto dos fatores originais elevados à potência indicada.
Erro #3: Esquecer de elevar coeficientes
Vamos considerar a expressão algébrica $(3x^4y^7)^2$.
Qual seria o resultado do cálculo dessa potência?
Aqui pode surgir a tentação de elevarmos somente as potências das variáveis e esquecermos de elevar o coeficiente, ou seja, $$(3x^4y^7)^2=3x^8y^{14}.$$
Entretanto, isso está incorreto. Devemos elevar também o coeficiente. Portanto, o correto é $$(3x^4y^7)^2=9x^8y^{14}.$$
Expoentes Negativos
Para lidar com expoentes negativos usamos a seguinte regra $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}, a\neq 0.$$
Erro #4: Esquecer de colocar o expoente negativo em um coeficiente
Por exemplo, $$\frac{1}{8x^4}=8x^{-4}.$$ Essa afirmação está errada. A expressão no lado direito é igual a $\dfrac{8}{x^4}$ que é diferente de $\dfrac{1}{8x^4}$. O correto é $$\frac{1}{8x^4}=8^{-1}x^{-4}.$$
Ou ainda você pode escrever $$\frac{1}{8x^4}=\frac{1}{8}x^{-4}$$ que também está correto.
Erro #5: $x^{-2}$ significa $\sqrt{x}$.
Um outro erro que você deve evitar é dizer que $x^{-2}$ significa $\sqrt{x}$.
São expressões completamente distintas. Por exemplo, tomando $x=4$, temos $$x^{-2}=4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$$ e $$\sqrt{x}=\sqrt{4}=2.$$
Erro #6: Ser apressado em expressões mais complexas
Os expoentes são bastantes úteis e ajudam a simplificar notações.
Mas ao mesmo tempo, devemos estar sempre atentos para não cair em certas armadilhas.
Assim, quando você estiver trabalhando com expressões mais complexas envolvendo expoentes negativos evitar estar afobado, pois do contrário, a chance de uma cometer erros será maior.
Por exemplo, uma pessoa com pressa pode escrever o seguinte $$4x^{-3}+6y^{-5}=\frac{10}{x^3+y^5}.$$
Isso está completamente errado. Você deve se lembrar sempre que quando estiver trabalhando com expoentes negativos, você estará trabalhando com frações. Por isso, você deverá saber como as operações com as frações funcionam.
Assim, a forma correta de lidar com a expressão acima é
(Inserir código aqui do overleaf)
Raízes e expoentes fracionários
Podemos mudar uma expressão radical para uma expressão envolvendo expoentes fracionários usando as seguintes regras
- $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
- $\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}$
Por exemplo, $$\sqrt[3]{2^6}=2^{\frac{6}{3}}=2^2=4.$$
Em $\sqrt[n]{a^k}$, $n$ é chamado de índice e $a^k$ é chamado de radicando.
Assim, para transformar uma expressão radical em uma com expoente fracionário, devemos lembrar que o expoente no radicando será o numerador e o índice será o denominador.
Erro #7: Colocar o índice como numerador e o expoente como denominador
Em outras palavras, o erro aqui é inverter as posições do índice e do expoente, ou seja, $$\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac{3}{2}}. $$ Isso está errado, sendo a forma correta $$\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac{2}{3}}.$$
Erro #8: Multiplicar os expoentes em uma distribuição em vez de somá-los
Ainda falando de expoentes fracionários, um outro erro comum é escrever $$x^3(x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}})=x+x^2.$$ O que aconteceu aqui foi multiplicar os expoentes em vez de somá-los. Sabemos que $$x^mx^n=x^{m+n}.$$
Sendo assim, o resultado correto é (inserir código do overleaf).
Ordem das operações
Em expressões (numéricas e algébricas), a ordem das operações é importante.
Primeiro calculamos as potências e raízes, em seguida multiplicação e divisão e por fim a soma e a subtração.
Erro #9: Resolver a multiplicação antes da potenciação
O erro a que estou me referindo aqui é escrever por exemplo $$2(x-1)^2=(2x-2)^2.$$
Essas expressões são completamente distintas. De fato, $$2(x-1)^2=2(x^2-2x+1)=2x^2-4x+2$$ e $$(2x-2)^2=4x^2-8x+4.$$
Potências de binômios
As potências de binômios são expressões do tipo $$(a+b)^n, a,b\in\mathbb{R}\;\textrm{e}\;n\in\mathbb{N}.$$
Erro #10: $(a+b)^n=a^n+b^n$
Esse é um erro clássico que você deve evitar. As expressões $(a+b)^n$ e $a^n+b^n$ são diferentes. Para determinar os coeficientes de $(a+b)^n$ usamos um teorema chamado de Teorema Binomial.
Para $n=2$ e $n=3$, temos $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\neq a^2+b^2$$ e $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\neq a^3+b^3.$$
Conclusão
Você viu nesse artigo uma lista de erros envolvendo potenciação.
Muito deles são resultados de falta de atenção e pressa.
Outros são cometidos porque não conhecem ou não lembram das propriedades básicas da potenciação.
Por isso, você deve reforçar os conhecimento das propriedades básicas da potenciação e estar mais atento quanto estiver fazendo os cálculos.
Dessa forma, você poderá evitar todos esses erros.
0 Comentários